Resolva as seguintes equações diferenciais. Soluções implícitas são suficientes. Justifique sua resposta (não use fórmulas prontas, mas execute os passos necessários para chegar à solução)
(y^2+2 t)+2 t y y^prime=0, sujeito a condição inicial y(1)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação (y^2+2 t)+2 t y y^prime=0 com a condição inicial y(1)=1. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente de equações diferenciais de primeira ordem. Para isso, vamos precisar manipular a equação para isolar y' e encontrar uma maneira de integrá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar y' isolado. A equação dada é:
y^2 + 2t + 2t y y' = 0
Vamos subtrair y^2 + 2t de ambos os lados:
2t y y' = - (y^2 + 2t)
Agora, dividimos ambos os lados por 2t y para isolar y':
y' = -y^2 + 2t2t y

Passo 3

Percebi que essa equação pode ser simplificada se fizermos uma substituição. Vamos definir u = y^2. Assim, a derivada de u em relação a t será:
dudt = 2y dydt
Isso significa que y dydt = 12 dudt. Vamos substituir isso na equação original.

Passo 4

Substituindo u = y^2 e a expressão para y dydt, temos:
u + 2t + 2t cdot 12 dudt = 0
Simplificando:
u + 2t + t dudt = 0

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação para deixar a derivada de u isolada:
t dudt + u = -2t
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma dudt + P(t)u = Q(t) , onde P(t) = 1t e Q(t) = -2 .

Passo 6

Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar o fator integrante mu(t), que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 1t dt = e^ln t = t

Passo 7

Multiplicamos toda a equação por mu(t) = t:
t cdot dudt + u = -2t
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto mu(t)u:
ddt(t u) = -2t

Passo 8

Agora, integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddt(t u) dt = integral -2t dt
Isso nos dá:
t u = -t^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Desfazemos a substituição u = y^2:
t y^2 = -t^2 + C
Dividindo ambos os lados por t (assumindo t neq 0):
y^2 = -t + Ct

Passo 10

Agora, usamos a condição inicial y(1) = 1 para encontrar a constante C. Substituindo t = 1 e y = 1 na equação:
1^2 = -1 + C1
Simplificando:
1 = -1 + C implies C = 2

Resposta

A solução implícita da equação diferencial é:
y^2 = -t + 2t
Ou, rearranjando:
y^2 + t = 2t

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