Resolva as seguintes equações diferenciais. Soluções implícitas são suficientes. Justifique sua resposta (não use fórmulas prontas, mas execute os passos necessários para chegar à solução)
, sujeito a condição inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação
com a condição inicial
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente de equações diferenciais de primeira ordem. Para isso, vamos precisar manipular a equação para isolar
e encontrar uma maneira de integrá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado. A equação dada é:
Vamos subtrair
de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
Percebi que essa equação pode ser simplificada se fizermos uma substituição. Vamos definir
. Assim, a derivada de
em relação a
será:
Isso significa que
. Vamos substituir isso na equação original.
Passo 4
Substituindo
e a expressão para
, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos reorganizar a equação para deixar a derivada de
isolada:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma
, onde
e
.
Passo 6
Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação por
:
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 8
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Desfazemos a substituição
:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Passo 10
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
na equação:
Simplificando:
Resposta
A solução implícita da equação diferencial é:
Ou, rearranjando: