Use o teorema de Green para calcular
\mathbf{F}(x, y)=\langle y-\cos y, x \operatorname{sen} y\rangle,
C é o círculo (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=4 orientado no sentido horário. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \oint_{C}P\,dx+Q\,dy
da campo \mathbf{F}(x,y)=\langle P,Q\rangle=\langle y-\cos y,\;x\sin y\rangle
ao longo da curva C\colon (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=4, que é um círculo de raio 2 centrado em (3,-4), orientado no sentido horário.
Vamos usar o Teorema de Green, lembrando de atentar para a orientação.

Passo 2

Identificamos a região D como o disco interior ao círculo C.
O Teorema de Green exige orientação positiva (anti-horária). Como C está orientada no sentido horário, teremos depois de aplicar o teorema um sinal negativo para ajustar a orientação.

Passo 3

O Teorema de Green diz que, para curva positivamente orientada,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Como C é orientada ao contrário, usaremos
\oint_{C_{\rm hór.}}P\,dx+Q\,dy = -\,\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.ó

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\sin y\bigr) = \sin y, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y-\cos y\bigr) =1+\sin y.

Passo 5

O integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\sin y-\bigl(1+\sin y\bigr) =-1.

Passo 6

Então a integral dupla sobre D vale
\iint_{D}(-1)\,dA =-1\cdot\operatorname{Área}(D) =-1\cdot ( \pi\cdot2^{2} ) =-4\pi.Á

Passo 7

Como a curva está orientada no sentido horário, a integral de linha é o negativo desse valor:
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy = -(-4\pi) =4\pi.

Resposta

\displaystyle 4\pi

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