Use o teorema de Green para calcular
,
é o círculo
orientado no sentido horário. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
da campo
ao longo da curva , que é um círculo de raio
centrado em
, orientado no sentido horário.
Vamos usar o Teorema de Green, lembrando de atentar para a orientação.
da campo
ao longo da curva
Vamos usar o Teorema de Green, lembrando de atentar para a orientação.
Passo 2
Identificamos a região
como o disco interior ao círculo
.
O Teorema de Green exige orientação positiva (anti-horária). Como está orientada no sentido horário, teremos depois de aplicar o teorema um sinal negativo para ajustar a orientação.
O Teorema de Green exige orientação positiva (anti-horária). Como
Passo 3
O Teorema de Green diz que, para curva positivamente orientada,
Como
é orientada ao contrário, usaremos
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 5
O integrando é
Passo 6
Então a integral dupla sobre
vale
Passo 7
Como a curva está orientada no sentido horário, a integral de linha é o negativo desse valor: