Resolva as integrais
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações relevantes fornecidas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - Atenção:
não está definida em , portanto trata-se de uma integral imprópria e será necessário verificar o comportamento quando .
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: fórmula de integração por partes. É uma técnica útil quando o integrando é produto de duas funções, uma das quais fica mais simples ao ser derivada e a outra é fácil de integrar.
A fórmula geral é
onde:
-
é uma função escolhida para ser diferenciada (calculamos ), -
é a outra parte, que integramos para obter .
Explicando de forma bem direta: escolhe-se
de modo que
seja mais simples do que
; escolhe-se
que se integra facilmente para
. Depois substitui-se na fórmula e resolve-se a integral restante.
Passo 3
Escolha prática para este problema:
- Tome
. Então ao derivar fica mais simples: . - Tome
. Integrando obtemos .
Calcule
:
Portanto:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes à integral indefinida
:
Simplificando o integrando da segunda parcela:
Logo uma primitiva é
Passo 5
Agora usamos
para calcular a integral definida impropria. Primeiro escrevemos a integral como limite no ponto inferior:
Calcule
:
Como
, temos
Passo 6
Agora precisamos avaliar
. Temos
A segunda parcela tende a
quando
porque
. Para a primeira parcela, analisamos o limite
Um modo simples de ver que esse limite é
é a substituição
com
. Então
e
quando
(a exponencial domina o polinômio). Portanto
Assim
.
Passo 7
Concluindo a integral definida: