Resolva as integrais
\int_{0}^{e} x^{2} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{e} x^{2}\ln x\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • O integrando é x^{2}\ln x.
  • Os limites de integração são 0 (inferior) e e (superior).
  • Atenção: \ln x não está definida em x=0, portanto trata-se de uma integral imprópria e será necessário verificar o comportamento quando x\to0^+.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: fórmula de integração por partes. É uma técnica útil quando o integrando é produto de duas funções, uma das quais fica mais simples ao ser derivada e a outra é fácil de integrar.
A fórmula geral é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde:
  • u é uma função escolhida para ser diferenciada (calculamos du),
  • dv é a outra parte, que integramos para obter v.
Explicando de forma bem direta: escolhe-se u de modo que du seja mais simples do que u; escolhe-se dv que se integra facilmente para v. Depois substitui-se na fórmula e resolve-se a integral restante.

Passo 3

Escolha prática para este problema:
  • Tome u=\ln x. Então ao derivar fica mais simples: du=\dfrac{1}{x}\,dx.
  • Tome dv=x^{2}\,dx. Integrando dv obtemos v.
Calcule v:
v=\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Portanto:
u=\ln x,\qquad du=\frac{1}{x}\,dx,\qquad dv=x^{2}\,dx,\qquad v=\frac{x^{3}}{3}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes à integral indefinida \int x^{2}\ln x\,dx:
\int x^{2}\ln x\,dx = uv - \int v\,du = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando o integrando da segunda parcela:
\int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{3}\int x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{9}.
Logo uma primitiva é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{x^{3}}{9} + C.

Passo 5

Agora usamos F(x) para calcular a integral definida impropria. Primeiro escrevemos a integral como limite no ponto inferior:
\int_{0}^{e} x^{2}\ln x\,dx = \lim_{a\to0^{+}}\int_{a}^{e} x^{2}\ln x\,dx = \lim_{a\to0^{+}}\bigl[F(x)\bigr]_{x=a}^{x=e}.
Calcule F(e):
F(e)=\frac{e^{3}}{3}\ln e - \frac{e^{3}}{9}.
Como \ln e=1, temos
F(e)=\frac{e^{3}}{3}\cdot 1 - \frac{e^{3}}{9} = e^{3}\!\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{9}\right) = e^{3}\!\left(\frac{3-1}{9}\right) = \frac{2e^{3}}{9}.

Passo 6

Agora precisamos avaliar \lim_{a\to0^{+}}F(a). Temos
F(a)=\frac{a^{3}}{3}\ln a - \frac{a^{3}}{9}.
A segunda parcela tende a 0 quando a\to0^{+} porque a^{3}/9\to0. Para a primeira parcela, analisamos o limite
\lim_{a\to0^{+}} \frac{a^{3}}{3}\ln a.
Um modo simples de ver que esse limite é 0 é a substituição a=e^{-t} com t\to+\infty. Então
\frac{a^{3}}{3}\ln a = \frac{1}{3}\,e^{-3t}(-t) = -\frac{t\,e^{-3t}}{3},
e t\,e^{-3t}\to0 quando t\to\infty (a exponencial domina o polinômio). Portanto
\lim_{a\to0^{+}}\frac{a^{3}}{3}\ln a = 0.
Assim \lim_{a\to0^{+}}F(a)=0-0=0.

Passo 7

Concluindo a integral definida:
\int_{0}^{e} x^{2}\ln x\,dx = F(e)-\lim_{a\to0^{+}}F(a) = \frac{2e^{3}}{9}-0=\frac{2e^{3}}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{2e^{3}}{9}

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