Exercício 1. Prove que para cada racional r, o conjunto r^{*} (definido acima a partir de r ) satisfaz (D1) - (D3) e portanto os r^{*} 's são de fato cortes.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Para cada racional r está definido o conjunto r^{*}. Aqui vamos tomar a definição usual usada em cortes de Dedekind:
r^{*}=\{q\in\mathbb{Q}\mid q<r\}.
  • O enunciado pede: provar que, para todo r\in\mathbb{Q}, o conjunto r^{*} satisfaz as três propriedades abaixo (denotadas por (D1), (D2), (D3)), e portanto é de fato uma corte. As propriedades são:
\text{(D1) } r^{*}\neq\varnothing\quad\text{e}\quad r^{*}\neq\mathbb{Q}.
\text{(D2) Se }x\in r^{*}\text{ e }y\in\mathbb{Q}\text{ com }y<x\text{ então }y\in r^{*}.ã
\text{(D3) Para todo }x\in r^{*}\text{ existe }z\in r^{*}\text{ tal que }x<z\quad(\text{não há maior elemento}).ãá
  • Resumo objetivo: mostrar (D1), (D2) e (D3) para a definição \;r^{*}=\{q\in\mathbb{Q}\mid q<r\}.

Passo 2

Prova de (D1): r^{*} não é vazio e não é todo \mathbb{Q}.
  • Mostrar r^{*}\neq\varnothing. Como r\in\mathbb{Q}, considere q=r-1. Então q\in\mathbb{Q} e \,q=r-1<r, portanto q\in r^{*}. Logo r^{*} contém pelo menos um elemento, ou seja r^{*}\neq\varnothing.
  • Mostrar r^{*}\neq\mathbb{Q}. Observe que r\in\mathbb{Q} mas r\notin r^{*} porque a condição para pertencer a r^{*} é ser menor que r, e não menor ou igual. Como existe pelo menos um racional (por exemplo r mesmo) que não pertence a r^{*}, conclui-se que r^{*} não é todo \mathbb{Q}. Portanto (D1) vale.
(Dica prática para prova na hora da prova: para mostrar não vazio, escolha algo óbvio como r-1; para mostrar não é todo, observe que r mesmo não está no conjunto.)

Passo 3

Prova de (D2): r^{*} é fechado para baixo (se tem um elemento, então todos os menores também pertencem).
  • Seja x\in r^{*}. Por definição isso significa \,x<r.
  • Seja y\in\mathbb{Q} com y<x.
  • Pela propriedade transitiva da desigualdade em \mathbb{Q}, de y<x e x<r segue y<r.
  • Como y<r, pela definição de r^{*} temos y\in r^{*}.
Portanto, sempre que um elemento x está em r^{*}, todos os racionais menores que x também estão em r^{*}. Assim (D2) está provada.
(Comentário didático: a transitividade de < é algo básico em \mathbb{Q}; na prova basta escrever a cadeia y<x<r e concluir y<r.)

Passo 4

Prova de (D3): r^{*} não tem maior elemento.
  • Tome um elemento arbitrário x\in r^{*}. Então \,x<r, isto é, r-x>0.
  • Queremos encontrar z\in r^{*} tal que x<z. Uma escolha natural e simples é o ponto médio entre x e r:
z=\frac{x+r}{2}.
  • Primeiro, z é racional porque \mathbb{Q} é fechado sob soma e multiplicação por escalares racionais; como x\in\mathbb{Q} e r\in\mathbb{Q}, tem-se \dfrac{x+r}{2}\in\mathbb{Q}.
  • Verificar x<z:
z-x=\frac{x+r}{2}-x=\frac{r-x}{2}.
Como r-x>0, tem-se \dfrac{r-x}{2}>0, logo z-x>0, isto é x<z.
  • Verificar z<r:
r-z=r-\frac{x+r}{2}=\frac{r-x}{2}>0,
portanto z<r e assim z\in r^{*}.
  • Conclusão: para qualquer x\in r^{*} existe z\in r^{*} com x<z. Não existe, portanto, maior elemento em r^{*}. Assim (D3) vale.
(Dica prática: usar a média \dfrac{x+r}{2} é um truque padrão e funciona porque médias de racionais são racionais e ficam estritamente entre os extremos.)

Passo 5

Conclusão final da prova:
  • Mostramos que r^{*} é não vazio e não é todo \mathbb{Q} [(D1)], que é fechado para baixo [(D2)] e que não possui maior elemento [(D3)].
  • Portanto, para todo r\in\mathbb{Q}, o conjunto r^{*}=\{q\in\mathbb{Q}\mid q<r\} satisfaz (D1),(D2),(D3) e é uma corte de Dedekind.

Resposta

Para todo r\in\mathbb{Q} o conjunto r^{*}=\{q\in\mathbb{Q}\mid q<r\} satisfaz (D1), (D2) e (D3); logo cada r^{*} é uma corte de Dedekind.

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