Exercício 1. Prove que para cada racional
, o conjunto
(definido acima a partir de
) satisfaz (D1) - (D3) e portanto os
's são de fato cortes.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Para cada racional
está definido o conjunto . Aqui vamos tomar a definição usual usada em cortes de Dedekind:
- O enunciado pede: provar que, para todo
, o conjunto satisfaz as três propriedades abaixo (denotadas por (D1), (D2), (D3)), e portanto é de fato uma corte. As propriedades são:
- Resumo objetivo: mostrar (D1), (D2) e (D3) para a definição
.
Passo 2
Prova de (D1):
não é vazio e não é todo
.
-
Mostrar
. Como , considere . Então e , portanto . Logo contém pelo menos um elemento, ou seja . -
Mostrar
. Observe que mas porque a condição para pertencer a é ser menor que , e não menor ou igual. Como existe pelo menos um racional (por exemplo mesmo) que não pertence a , conclui-se que não é todo . Portanto (D1) vale.
(Dica prática para prova na hora da prova: para mostrar não vazio, escolha algo óbvio como
; para mostrar não é todo, observe que
mesmo não está no conjunto.)
Passo 3
Prova de (D2):
é fechado para baixo (se tem um elemento, então todos os menores também pertencem).
- Seja
. Por definição isso significa . - Seja
com . - Pela propriedade transitiva da desigualdade em
, de e segue . - Como
, pela definição de temos .
Portanto, sempre que um elemento
está em
, todos os racionais menores que
também estão em
. Assim (D2) está provada.
(Comentário didático: a transitividade de
é algo básico em
; na prova basta escrever a cadeia
e concluir
.)
Passo 4
Prova de (D3):
não tem maior elemento.
- Tome um elemento arbitrário
. Então , isto é, . - Queremos encontrar
tal que . Uma escolha natural e simples é o ponto médio entre e :
- Primeiro,
é racional porque é fechado sob soma e multiplicação por escalares racionais; como e , tem-se . - Verificar
:
Como
, tem-se
, logo
, isto é
.
- Verificar
:
portanto
e assim
.
- Conclusão: para qualquer
existe com . Não existe, portanto, maior elemento em . Assim (D3) vale.
(Dica prática: usar a média
é um truque padrão e funciona porque médias de racionais são racionais e ficam estritamente entre os extremos.)
Passo 5
Conclusão final da prova:
- Mostramos que
é não vazio e não é todo [(D1)], que é fechado para baixo [(D2)] e que não possui maior elemento [(D3)]. - Portanto, para todo
, o conjunto satisfaz (D1),(D2),(D3) e é uma corte de Dedekind.
Resposta
Para todo
o conjunto
satisfaz (D1), (D2) e (D3); logo cada
é uma corte de Dedekind.