Exercício: Prove que o conjunto R^2=(x, y) / x, y in R é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real assim definidas:
l (x1, x2)+(y1, y2)=(x1+y1, x2+y2) alpha(x, y)=(alpha x, alpha y)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto R^2 com as operações
(x1,x2)+(y1,y2) = (x1+y1,;x2+y2), alpha,(x,y) = (alpha x,;alpha y)
é um espaço vetorial sobre R. Para isso precisamos verificar que R^2 forma um grupo abeliano sob adição e satisfaz os axiomas de multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos os axiomas da adição em R^2. Tomemos (x1,x2),(y1,y2),(z1,z2)inR^2.
  1. Fechamento: (x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1,x2+y2) pertence a R^2.
  2. Comutatividade: (x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1,x2+y2)=(y1+x1,y2+x2)=(y1,y2)+(x1,x2)
  3. Associatividade: l((x1,x2)+(y1,y2)r)+(z1,z2) = (x1+y1,x2+y2)+(z1,z2) = (x1+y1+z1,;x2+y2+z2)
= (x1,x2)+(y1+z1,y2+z2) = (x1,x2)+l((y1,y2)+(z1,z2)r)

Passo 3

Existência de elemento neutro e inverso aditivo.
  1. Neutro: Definimos 0=(0,0). Então (x1,x2)+(0,0)=(x1+0,x2+0)=(x1,x2)
  2. Inverso: Para (x1,x2), escolhemos -,(x1,x2)=(-x1,-x2). Então (x1,x2)+(-x1,-x2)=(x1-x1,x2-x2)=(0,0)

Passo 4

Verificamos os axiomas envolvendo multiplicação por escalar. Para alpha,betainR e (x,y)inR^2:
  1. Fechamento: alpha,(x,y)=(alpha x,alpha y)inR^2.
  2. Compatibilidade de escalares: alphal(beta(x,y)r) = alpha,(beta x,beta y) = (alphabeta x,alphabeta y) = (alphabeta),(x,y)
  3. Identidade escalar: 1,(x,y)=(1cdot x,1cdot y)=(x,y)

Passo 5

Verificamos as propriedades distributivas.
  1. Distributividade do escalar sobre soma de escalares: (alpha+beta)(x,y) = l((alpha+beta)x,(alpha+beta)yr) = (alpha x+beta x,;alpha y+beta y) = (alpha x,alpha y)+(beta x,beta y) = alpha(x,y)+beta(x,y)
  2. Distributividade do escalar sobre soma de vetores: alphal((x1,x2)+(y1,y2)r) = alpha(x1+y1,x2+y2) = (alpha(x1+y1),alpha(x2+y2))
= (alpha x1+alpha y1,;alpha x2+alpha y2) = (alpha x1,alpha x2)+(alpha y1,alpha y2) = alpha(x1,x2)+alpha(y1,y2)

Resposta

Como todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial foram verificadas, concluímos que R^2 com as operações dadas é de fato um espaço vetorial sobre R.

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