Exercício: Prove que o conjunto
é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real assim definidas:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
com as operações
é um espaço vetorial sobre
. Para isso precisamos verificar que
forma um grupo abeliano sob adição e satisfaz os axiomas de multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos os axiomas da adição em
. Tomemos
.
- Fechamento:
pertence a . - Comutatividade:
- Associatividade:
Passo 3
Existência de elemento neutro e inverso aditivo.
- Neutro: Definimos
. Então - Inverso: Para
, escolhemos . Então
Passo 4
Verificamos os axiomas envolvendo multiplicação por escalar. Para
e
:
- Fechamento:
. - Compatibilidade de escalares:
- Identidade escalar:
Passo 5
Verificamos as propriedades distributivas.
- Distributividade do escalar sobre soma de escalares:
- Distributividade do escalar sobre soma de vetores:
Resposta
Como todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial foram verificadas, concluímos que
com as operações dadas é de fato um espaço vetorial sobre
.