Verifique se os conjuntos abaixo são espaço vetoriais reais, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão.
Matrizes diagonais n times n

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto D de todas as matrizes diagonais ntimes n é um espaço vetorial real com as operações usuais de soma e multiplicação escalar. O conteúdo aqui é subespaços de Mn(R), e se for espaço vetorial precisamos exibir uma base e determinar a dimensão.

Passo 2

Para mostrar que D é um espaço vetorial basta verificar que é subespaço de Mn(R).
  1. A matriz nula, que tem todos os elementos iguais a zero, é diagonal, logo pertence a D.
  2. Sejam A e B matrizes diagonais e alpha,betainR. Então alpha A+beta B é também diagonal, pois a combinação linear não introduz elementos fora da diagonal.
    Isso garante fechamento sob soma e multiplicação por escalar, portanto D é subespaço e, assim, espaço vetorial.

Passo 3

Agora exibimos uma base natural de D. Para cada i=1,dots,n definimos a matriz Eii cuja única entrada não nula é 1 na posição (i,i). São elas
E11,E22,dots,Enn
Qualquer matriz diagonal
M=diag(d1,d2,dots,dn)
pode ser escrita como
M = d1E11 + d2E22 + cdots + dnEnn

Passo 4

Para verificar independência linear de E11,dots,Enn, suponha
lambda1E11 + lambda2E22 + cdots + lambdanEnn = 0
Analisando a entrada (i,i) dessa soma, obtemos lambdai=0 para cada i. Como todos os coeficientes são zero, o conjunto é linearmente independente e gera D.

Passo 5

Concluímos que E11,E22,dots,Enn é uma base de D. Como há exatamente n vetores nessa base, a dimensão de D é n.

Resposta

O conjunto de todas as matrizes diagonais ntimes n é um espaço vetorial real. Uma base é
E11,E22,dots,Enn,
e a dimensão desse espaço é n.

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