Verifique se os conjuntos abaixo são espaço vetoriais reais, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão.
Matrizes diagonais
Matrizes diagonais
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
de todas as matrizes diagonais
é um espaço vetorial real com as operações usuais de soma e multiplicação escalar. O conteúdo aqui é subespaços de
, e se for espaço vetorial precisamos exibir uma base e determinar a dimensão.
Passo 2
Para mostrar que
é um espaço vetorial basta verificar que é subespaço de
.
- A matriz nula, que tem todos os elementos iguais a zero, é diagonal, logo pertence a
. - Sejam
e matrizes diagonais e . Então é também diagonal, pois a combinação linear não introduz elementos fora da diagonal.
Isso garante fechamento sob soma e multiplicação por escalar, portantoé subespaço e, assim, espaço vetorial.
Passo 3
Agora exibimos uma base natural de
. Para cada
definimos a matriz
cuja única entrada não nula é 1 na posição
. São elas
Qualquer matriz diagonal
pode ser escrita como
Passo 4
Para verificar independência linear de
, suponha
Analisando a entrada
dessa soma, obtemos
para cada
. Como todos os coeficientes são zero, o conjunto é linearmente independente e gera
.
Passo 5
Concluímos que
é uma base de
. Como há exatamente
vetores nessa base, a dimensão de
é
.
Resposta
O conjunto de todas as matrizes diagonais
é um espaço vetorial real. Uma base é
e a dimensão desse espaço é
.