Exercício 6 Seja o espaço das matrizes triangulares superiores. Considere
(a) Mostre que B e C são bases de V.
(b) Determine a matriz de mudança de base [P]B^C.
Passo 1
Beleza, o exercício diz que temos o espaço vetorial
V = la & b0 & c:a,b,cin R
e duas coleções de matrizes
B=lb1=1&00&0,,b2=0&10&0,,b3=0&00&1r
C=lc1=1&00&0,,c2=1&10&0,,c3=1&10&1r
Parte (a): mostrar que B e C são bases de V.
Parte (b): achar a matriz de mudança de base [P]B^C.
Conteúdo usado: definição de base (gerador + independência linear), coordenas em bases e fórmula da mudança de base.
Passo 2
Mostrar que B é base de V.
Geração: todo M=a&b0&c pode ser escrito
M = a,b1 ;+; b,b2;+; c,b3,
porque a,1&00&0 + b,0&10&0 + c,0&00&1 =a&b0&c.
2) Independência: se alpha b1+beta b2+gamma b3=0, olhando às entradas:
– na posição (1,1) vem alpha=0,
– em (1,2) vem beta=0,
– em (2,2) vem gamma=0.
Logo só há combinação trivial, então B é LI.
Conclusão: B é base de V.
Passo 3
Mostrar que [C) é base de .
Geração: queremos escrever
onde , , .
Somando dá
Igualando a temos o sistema
Daqui , . Sempre dá para resolver, então gera .
Independência: a solução é única, logo qualquer combinação linear nula força .
Conclusão: é base de .
Passo 4
Encontrar [P]B^C, a matriz que faz
[v]C ;=; [P]B^C,[v]B
As colunas de [P]B^C são as coordenadas de cada bi (os vetores de B) em relação à base C.
b1=(1,0;0,0)=c1, logo [b1]C=(1,0,0)^T.
b2=(0,1;0,0): resolvendo alpha c1+beta c2+gamma c3=b2 vem gamma=0,beta=1,alpha=-1.
Então [b2]C=(-1,1,0)^T.
b3=(0,0;0,1): resolvendo igual, vem gamma=1,beta=-1,alpha=0.
Então [b3]C=(0,-1,1)^T.
Montando em colunas,
[P]B^C = 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1
Resposta
(a) Tanto B quanto C são bases de V.
(b) A matriz de mudança de base de B para C é