Sejam x, y in R. Usando as propriedades dos números reais relativas as operações de soma e multiplicação, prove que:
x (-y)=(-x) cdot y=-(x y);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que para quaisquer números reais x e y vale xcdot(-y)=(-x)cdot y=-(xcdot y). O conteúdo usado será: inverso aditivo, elemento neutro multiplicativo, propriedade distributiva e unicidade do inverso.

Passo 2

Como -y é o inverso aditivo de y, temos y+(-y)=0. Multiplicando essa igualdade por x e usando que xcdot0=0:
xcdot(y+(-y))=xcdot0=0

Passo 3

Aplicando a propriedade distributiva no lado esquerdo:
xcdot y + xcdot(-y)=0
Aqui xcdot y + xcdot(-y) = 0 mostra que xcdot(-y) é o inverso aditivo de xcdot y. Portanto:
xcdot(-y)=-(xcdot y)

Passo 4

Para mostrar que (-x)cdot y=-(xcdot y), note que -x satisfaz x+(-x)=0. Multiplicando por y:
(x+(-x))cdot y=0cdot y=0
Pela distributiva:
xcdot y + (-x)cdot y=0
Logo (-x)cdot y é o inverso aditivo de xcdot y, ou seja:
(-x)cdot y=-(xcdot y)

Passo 5

Como ambos xcdot(-y) e (-x)cdot y são iguais a -(xcdot y), concluímos:
xcdot(-y)=(-x)cdot y=-(xcdot y)

Resposta

xcdot(-y)=(-x)cdot y=-(xcdot y)

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