Exercício 4 - A reação elementar \mathrm{A}_{(q)} \rightleftharpoons \mathrm{P}_{(q)} é processada num reator CSTR isotérmico de 100,0 litros. O reagente A a 2,5 \mathrm{~mol} / litro entra no reator a uma vazão molar de 1500 \mathrm{mol} / \mathrm{min}. Sabendo-se que temperatura de operação a constante de equilibrio é igual a 2,0 , determine:
a) A menor concentração de A possível na saída do reator na temperatura T , quando a alimentação é pura.
b) A constante da taxa da reação direta, quando a concentração real de A na saída do reator for igual a 1,5 \mathrm{~mol} /.litro.

Passo 1

Enunciado e dados (resumindo o que se pede e o que foi fornecido):
  • Reação elementar: \mathrm{A}_{(q)} \rightleftharpoons \mathrm{P}_{(q)}.
  • Reator: CSTR isotérmico com volume V = 100{,}0\\ \mathrm{L}.
  • Alimentação: \mathrm{A} pura com concentração de entrada \,c_{A0}=2{,}5\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
  • Vazão molar da alimentação: \dot{n}_{\text{tot}} = 1500\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{min}^{-1}. (Aqui a alimentação é líquida e pura em A.)
  • Constante de equilíbrio à temperatura T: K_{\text{eq}} = 2{,}0. Por definição de reação elementar unimolecular, K_{\text{eq}} = \dfrac{k_f}{k_r}.
  • Pedidos:
    (a) A menor concentração possível de A na saída do reator, à temperatura T, quando a alimentação é pura.
    (b) A constante de taxa direta k_f (unidade) quando a concentração de A na saída real é c_A = 1{,}5\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.

Passo 2

Calcular a vazão volumétrica \dot{V} a partir da vazão molar e da concentração de alimentação (porque foi dada a vazão em mol/min e a concentração em mol/L).
A relação é \dot{n}_{\text{tot}} = \dot{V}\,c_{A0} (feed pura em A, então toda a vazão molar corresponde a A no alimentador). Logo
\dot{V}=\frac{\dot{n}_{\text{tot}}}{c_{A0}}=\frac{1500\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{min}^{-1}}{2{,}5\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}}=600\\ \mathrm{L}\,\mathrm{min}^{-1}.
Também é útil a residência média \tau:
\tau=\frac{V}{\dot{V}}=\frac{100{,}0\\ \mathrm{L}}{600\\ \mathrm{L}\,\mathrm{min}^{-1}}=\frac{1}{6}\\ \mathrm{min}\approx0{,}1667\\ \mathrm{min}.

Passo 3

Conservação da massa total (A + P) no líquido: a reação é 1 A ↔ 1 P, logo a reação não altera o número total de mols por volume (não há geração líquida de mols). Portanto, no regime estacionário do CSTR (e assumindo densidade/volume constantes),
c_A+c_P=c_{A0}=2{,}5\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
Explicação didática: como a alimentação é pura A com 2{,}5\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1} e a reação apenas converte A em P numa razão 1:1, a soma das concentrações no interior do reator permanece igual à concentração total de entrada.

Passo 4

Determinar a menor concentração possível de \mathrm{A} na saída (item a).
Raciocínio: a menor concentração de \mathrm{A} que podemos obter à dada temperatura é aquela correspondente ao equilíbrio químico dentro do reator (não se pode forçar uma composição além do equilíbrio): em equilíbrio
K_{\text{eq}}=\frac{c_P^{\text{eq}}}{c_A^{\text{eq}}}.
Usando também c_A^{\text{eq}}+c_P^{\text{eq}}=c_{A0}, temos
c_A^{\text{eq}}\bigl(1+K_{\text{eq}}\bigr)=c_{A0}\quad\Rightarrow\quad c_A^{\text{eq}}=\frac{c_{A0}}{1+K_{\text{eq}}}.
Substituindo números:
c_A^{\text{min}}=c_A^{\text{eq}}=\frac{2{,}5}{1+2{,}0}=\frac{2{,}5}{3}=0{,}833\bar{3}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
Arredondando de forma razoável: c_A^{\text{min}}=0{,}833\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
Comentário didático: este é o limite inferior físico — mesmo com tempo de residência muito grande e reação muito rápida, não se pode ter c_A menor do que essa composição de equilíbrio dada o K_{\text{eq}} e a conservação total.

Passo 5

Preparar a equação de balanço de espécie A no CSTR para o item (b).
Definindo o sentido de reação direto como consumo de A: velocidade direta r_f=k_f c_A, velocidade reversa r_r=k_r c_P. Taxa líquida do processo que consome A:
r_{\text{net}}=k_f c_A - k_r c_P.
Balanço molar estacionário para A no CSTR (unidade mol/min):
\dot{V}\,c_{A0}-\dot{V}\,c_A - V\;r_{\text{net}}=0.
Explicação das parcelas: entrada menos saída menos consumo pela reação (consumo por volume vezes volume) = 0 no estado estacionário.
Reescrevendo:
\dot{V}(c_{A0}-c_A)=V\bigl(k_f c_A - k_r c_P\bigr).

Passo 6

Aplicar os dados do item (b): c_A=1{,}5\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}. Primeiro obter c_P pelo balanço total do Passo 3:
c_P=c_{A0}-c_A=2{,}5-1{,}5=1{,}0\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
Agora calcular o membro da esquerda da equação do balanço:
\dot{V}(c_{A0}-c_A)=600\\ \mathrm{L}\,\mathrm{min}^{-1}\times(2{,}5-1{,}5)\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}=600\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{min}^{-1}.

Passo 7

Colocar tudo na equação e resolver para k_f, usando a relação entre k_f e k_r dada por K_{\text{eq}}=\dfrac{k_f}{k_r}\Rightarrow k_r=\dfrac{k_f}{K_{\text{eq}}}.
A equação do balanço torna-se:
600 = V\bigl( k_f c_A - k_r c_P\bigr)=100\bigl( k_f\cdot 1{,}5 - k_r\cdot 1{,}0\bigr).
Substituindo k_r=k_f/K_{\text{eq}}=k_f/2{,}0:
600 = 100\Bigl(1{,}5\,k_f - 1{,}0\cdot\frac{k_f}{2{,}0}\Bigr) =100\Bigl(1{,}5\,k_f - 0{,}5\,k_f\Bigr) =100\cdot 1{,}0\,k_f.
Logo
600 = 100\cdot 1{,}0\,k_f \quad\Rightarrow\quad k_f = \frac{600}{100}=6{,}0\\ \mathrm{min}^{-1}.
Interpretação de unidades: como a reação é de primeira ordem (para cada direção) em concentração, k_f tem unidade de \mathrm{min}^{-1}, consistente com o cálculo.

Passo 8

Checagem rápida e comentário final: com k_f=6{,}0\\ \mathrm{min}^{-1} e k_r=k_f/K_{\text{eq}}=3{,}0\\ \mathrm{min}^{-1}, a expressão do termo reacional do balanço dá a taxa volumétrica correta que iguala a diferença de fluxos. Tudo coerente.

Resposta

(a) c_A^{\text{min}}=0{,}833\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}
(b) k_f=6{,}0\\ \mathrm{min}^{-1}

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