Exercício 1.7. Reparametrize a curva pelo comprimento de arco a partir do ponto onde t=0 na direção crescente de t.
\vec{r}(t)=(a \cos t, a \operatorname{sen} t, c t).

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar pela distância de arco a curva
\vec r(t) = \bigl(a\cos t,\;a\sin t,\;c\,t\bigr)
a partir de t=0 na direção de t crescente.
Conteúdo: reparametrização pelo comprimento de arco. Precisamos calcular \vec r'(t), seu módulo, obter
\displaystyle s(t)=\int_{0}^{t}\|\vec r'(u)\|\,du, inverter essa relação para t(s) e substituir em \vec r.

Passo 2

Calculamos a derivada
\vec r'(t) =\bigl(-a\sin t,\;a\cos t,\;c\bigr)
e seu módulo
\|\vec r'(t)\| =\sqrt{(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}+c^{2}} =\sqrt{a^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t)+c^{2}} =\sqrt{a^{2}+c^{2}}.

Passo 3

O comprimento de arco desde t=0 até t é
s(t) =\int_{0}^{t}\|\vec r'(u)\|\,du =\int_{0}^{t}\sqrt{a^{2}+c^{2}}\;du =\sqrt{a^{2}+c^{2}}\;t.

Passo 4

Invertendo a relação s=\sqrt{a^{2}+c^{2}}\;t, obtemos
t(s) =\frac{s}{\sqrt{a^{2}+c^{2}}}.

Passo 5

Substituindo t(s) em \vec r(t), a reparametrização pela distância de arco é
\vec R(s) =\Bigl(a\cos\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{a^{2}+c^{2}}}\bigr),\; a\sin\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{a^{2}+c^{2}}}\bigr),\; c\,\tfrac{s}{\sqrt{a^{2}+c^{2}}}\Bigr),
com s\ge0.

Resposta

\vec R(s) =\Bigl(a\cos\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{a^{2}+c^{2}}}\bigr),\; a\sin\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{a^{2}+c^{2}}}\bigr),\; \frac{c\,s}{\sqrt{a^{2}+c^{2}}}\Bigr), \quad s\ge0.

Exercícios relacionados