Exercício 8. [resolução]
De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto, por exemplo, um foguete, parece a um observador depender da velocidade em que o objeto viaja em relação ao próprio observador. Se o observador medir o comprimento do foguete em repouso, então, à velocidade , o comprimento parecerá
em que é a velocidade da luz no vácuo, cerca de . Essa equação é a fórmula da contração de Lorentz. O que acontece com à medida que aumenta? Determine . Por que o limite lateral à esquerda foi necessário?
1 Resoluções dos exercícios:
Resolução do Ex. 1 [voltar]
a) (tendendo por valores positivos).
b) (tendendo por valores negativos).
c) 5, portanto: lim x -infty 5+1x+3x^2=5.
d) 2-undersetsubstackx 0 x +infty1x undersetx +inftylongrightarrow 2, portanto: lim x +infty 2-1x.
e) 2 x+1x+3= & underbrace2 x+6x+3x +3-5x+3=2-underbrace5x+3x +infty- x +infty 2^+ & =2(x+3)x+3
f) 2 x+1x+3=2 x+6x+3-5x+3=2-underbrace5x+3x +infty undersetx +inftylongrightarrow 2^+, portanto: lim x -infty 2 x+1x+3=2.
g) x^2-2 x+33 x^2+x+1=x^2 cdot(1-2x+3x^2)3 x^2 cdot(1+13 x+13 x^2)=1 cdot overbrace(1-2x+3x^2)^(underbracelongrightarrowx -infty 13 cdot(1+13 x+13 x^2) undersetx -inftylongrightarrow 13.
Todas as funções racionais podem ser tratadas de maneira similar aos casos e ), f ) e g ).
Na prática, é bom saber a regra geral seguinte:
Sendo dois polinômios am x^m+cdots+a1 x+a0 e bn x^n+cdots+b1 x+b0 temos:
lim x +infty am x^m+cdots+a1 x+a0bn x^n+cdots+b1 x+b0 & =lim x +infty am x^mbn lim x -infty am x^m+cdots+a1 x+a0bn x^n+cdots+b1 x+b0 & =lim x -infty am x^mbn x^n
Implicitamente, nestas formulas, am neq 0 e bn neq 0 (isso é: são polinômios de grau m e n, respectivamente). Ressalta-se também que esta regra só se aplica para limites em pm infty, não valendo para x p.
No caso g ) por exemplo: lim x -infty x^2-2 x+33 x^2+x+1=lim x -infty x^23 x^2=13.
Mesmo assim, é bom saber tratar a mão, pois as mesmas técnicas permitem, combinado com raízes por exemplo, calcular outros limites (veja as questões k ), l ) etc… abaixo: o exercício é muito bem feito com relação a isso, pois complica gradualmente as questões, que são para serem resolvidas uma depois da outra, na sequência).
h) 5 x^4-2 x+14 x^4+3 x+2=5 x^4 cdot(1-2x^3+1x^4)4 x^4 cdot(1+3x^3+2x^4) undersetx +inftylongrightarrow 54
Ou, diretamente usando a regra: lim x +infty 5 x^4-2 x+14 x^4+3 x+2=lim x +infty 5 x^44 x^4=54.
i) xx^2+3 x+1=xx^2(1+3x+1x^2)=underbrace1x cdot(1+3x+1x^2)x +infty undersetx inftylongrightarrow 0.
Ou, diretamente usando a regra: lim x +infty xx^2+3 x+1=lim x +infty xx^2=lim x +infty 1x=0.
Observação: Mesmo que ajuda entender, é melhor evitar escrever o seguinte tipo de coisas:
lim x +infty 1x=1+infty=0
pois +infty não é um número real, e não tem um bom comportamento algébrico (tipo: 0 cdot+infty= ?)
j) 2 x^3+1x^4+2 x+3=2 x^3 cdot(1+12 x^3)x^4 cdot(1+2x^3+3x^4)=2 cdot overbrace(1+12 x^3)^underbracelongrightarrowx -infty ^1 cdot underbrace(1+2x^3+3x^4)x -inftyunderbracexx -infty 1 underbracex -infty 0^-.
Ou, diretamente usando a regra: lim x -infty 2 x^3+1x^4+2 x+3=lim x -infty 2 x^3x^4=lim x -infty 2x=0^-.
k) raiz[3]5+underbrace2xx +infty 0=raiz[3]5, onde usamos a continuidade de raiz[3]y no ponto 5 .
Portanto, lim x +infty raiz[3]5+2x=raiz[3]5.
l) raiz[3]xx^2+3=raiz[3]xx^2 cdot(1+3x^2)=raiz[3]1underbracex cdot(1+3x^2)x -infty undersetx -inftylongrightarrow raiz[3]0=0.
Portanto, lim x -infty raiz[3]xx^2+3=0.
m) raizx^2+13 x+2=raizx^2(1+1x^2)3 x(1+2x)=raizx^2(1+1x^2)9 x^2(1+2x)^2=raiz1+1x^29(1+2x)^2 undersetx +infty raiz19=13.
Nas duas expressões acima, ainda pode-se trocar x p por um limite lateral x p^+ou x p^-, continuam valendo.
Caso quer calcular um limite do tipo g(x)f(x), não esqueça de cuidar do sinal de g também.
a) 5underbrace3-xsubstackx 0^+ x 0^+ undersetx 0^+longrightarrow-infty, portanto: lim x 3^+ 53-x=-infty.
b) 4underbracex-3substackx 0^- x 3^- undersetx 3^-longrightarrow-infty, portanto: lim x 3^- 4x-3=-infty.
c) 4underbrace2 x-1substackx 12^+ undersetx 12^+longrightarrow+infty, portanto: lim x 12^+ 42 x-1=+infty
d) lim x 0^- 1x=-infty.
e) 2 x+1x=2+1x undersetx 0^+longrightarrow+infty, portanto: lim x 0^+ 2 x+1x=+infty.
f) x-3x^2=x(1-3x)x^2=overbraceunderbracelongrightarrowx 0^-^x 0^-1-3x underbracelongrightarrow 1>0x 0^--infty, portanto lim x 0^- x-3x^2=-infty.
g) 3x^2-x=underbrace3x(x-2)substackx 0^+ x 0^+ undersetx 0^+longrightarrow+infty, portanto: lim x 0^+ 3x^2-x=+infty.
h) 3x^2-x=underbrace3x(x-2)substacklongrightarrow 0^+ x 0^- undersetx 0^-longrightarrow+infty, portanto: lim x 0^- 3x^2-x=+infty.
i) overbraceunderbraceoverbrace3 x+1^x^2-1x 1^+^overbracex 1^++4>0 undersetx 1^+longrightarrow+infty, portanto: lim x 1^+ 3 x+1x^2-1=+infty. undersetx 1^-longrightarrow 5>0
j) overbrace2 x+3underbracesubstackx^2-1 x 1^- undersetx 1^+longrightarrow-infty, portanto: lim x 1^- 2 x+3x^2-1=-infty.
k) 2 x+3x^2+x=underbraceundersetx 1+2 x+3x(x+1)substackx 0^- x -1^+ undersetx -1^+longrightarrow+infty, portanto: lim x -1^+ 2 x+3x^2+x=-infty.
Se precisar, faça uma tabela de sinais para ver que x(x+1) tende a 0 por valores negativas quando x -1 a esquerda.
l) x^2-3 xx^2-6 x+9=x(x-3 x)(x-3)^2=xx-3=overbracexunderbracex-3x 3^+ undersetx 3^+longrightarrow+infty, portanto: lim x 3^+ x^2-3 xx^2-6 x+9=+infty.
Aqui, se precisar, calcule o Bhaskara para fatorar x^2+3 x-4=(x+4)(x-1), e faça uma tabela de sinais para ver que tende a 0 por valores positivas quando x 1^+.
p) x^2-4x^2-4 x+4=(x+2)(x-2)(x-2)^2=overbrace(x+2)^undersetx 2longrightarrow+4>0underbracex-2x 2^+ undersetx 2^+longrightarrow+infty, portanto: lim x 2^+ x^2-4x^2-4 x+4=+infty.
q) 3 x^2-41-x^2=(x+2)(x-2)(x-2)^2=underbraceoverbrace3 x^2-4^longrightarrow(1+x)(1-x)undersetx 1^+longrightarrow 0^+ undersetx 2^+longrightarrow-infty, portanto: lim x -1^+ 3 x^2-41-x^2=-infty.
r) sen xx^3-x^2=underbracesen xxsubstackx 0^+ longrightarrow cdot underbrace1x(x-1)substackx 0^- x 0^+ undersetx 0^+longrightarrow-infty, portanto: undersetx 0^+lim sen xx^3-x^2=-infty.
Resolução do Ex. 5 [voltar]
O limite pode ser basicamente qualquer coisa, seguem vários exemplos:
Tome f(x)=x e g(x)=x-7, então lim x +infty f(x)=+infty e lim x +infty g(x)=+infty, porem f(x)-g(x)=7 é constante, portanto:
lim x +infty f(x)-g(x)=7
Tome f(x)=x^2 e g(x)=x, então lim x +infty f(x)=+infty e lim x +infty g(x)=+infty, porem f(x)-g(x)=x(x-1) portanto:
lim x +infty f(x)-g(x)=+infty
Tome f(x)=x e g(x)=x^2, então lim x +infty f(x)=+infty e lim x +infty g(x)=+infty, porem f(x)-g(x)=x(1-x) portanto:
lim x +infty f(x)-g(x)=-infty
Tome f(x)=x+sin (x) e g(x)=x, então lim x +infty f(x)=+infty e lim x +infty g(x)=+infty, porem f(x)-g(x)=sin (x) portanto:
lim x +infty f(x)-g(x) não existe ã
Resolução do Ex. 6 [voltar]
De novo, um tal limite pode ser qualquer coisa (alem de -infty ). Seguem vários exemplos:
Tome f(x)=x e g(x)=7 x, então lim x +infty f(x)=+infty e lim x +infty g(x)=+infty, porem f(x)g(x)=7 é constante, portanto:
lim x +infty f(x)g(x)=7
Tome f(x)=x^2 e g(x)=x, então lim x +infty f(x)=+infty e lim x +infty g(x)=+infty, porem f(x)g(x)=x portanto:
lim x +infty f(x)g(x)=+infty
Tome f(x)=x e g(x)=x^2, então lim x +infty f(x)=+infty e lim x +infty g(x)=+infty, porem f(x)g(x)=1x portanto:
lim x +infty f(x)g(x)=0
Tome f(x)=x sin (x) e g(x)=x, então lim x +infty f(x)=+infty e lim x +infty g(x)=+infty, porem f(x)g(x)=sin (x) portanto:
lim x +infty f(x)g(x) não existe ã
Resolução do Ex. 7 [voltar] Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça as seguintes condições:
a) Segue o gráfico da função:
f(x)=x^3+(2 raiz2-1) xraizx^6+1
que satisfaz as condições: f(0)=0, f(1)=2, f(-1)=-2, lim x -infty f(x)=-1 e lim x +infty f(x)=1.
( x from -3.1 to 3.1 )
b) Segue o gráfico da função:
f(x)=2x raiz1x^2+1
que satisfaz as condições: f(0)=0, lim x -infty f(x)=0, lim x +infty f(x)=0, lim x 0^+ f(x)=2 e lim x 0^- f(x)=-2.
Resolução do Ex. 8 [voltar]
Temos:
L=L0 cdot underbraceraiz1-1^-substackundersetv c^-underbrace+ v c^- undersetv c^-stackrelv^2c^2 0^+
portanto lim v c^- L=0. O limite lateral à esquerda foi necessário pois para v>c, 1-v^2c^2 é negativo, e a raiz raiz1-v^2c^2 não é definida.)
Passo 1
O enunciado apresenta a fórmula da contração de Lorentz na relatividade restrita, que diz que se um observador mede o comprimento de repouso L0 de um foguete, então quando o foguete se move com velocidade v relativa ao observador, o comprimento aparente é
L = L0,raiz1 - v^2c^2,
onde c é a velocidade da luz no vácuo. O que queremos é entender o que acontece com L conforme v aumenta e, em particular, calcular
limv to c^- L
O conteúdo principal aqui é o cálculo de limite e a noção de limite lateral, pois a expressão dentro da raiz fica negativa se v>c, o que não faz sentido físico nem matemático no domínio real.
Passo 2
Vamos analisar qualitativamente o fator de contração
raiz1 - v^2c^2
Quando v=0, temos raiz1 - 0=1, ou seja L=L0. À medida que v cresce, o quociente tfracv^2c^2 aumenta de 0 em direção a 1, e portanto 1-tfracv^2c^2 diminui de 1 em direção a 0. Logo o fator raiz1 - v^2/c^2 tende a 0 quando v se aproxima de c.
Passo 3
Para calcular o limite, substituímos v por c na expressão, lembrando que é um limite pela esquerda:
limv to c^- L = limv to c^- gl(L0,raiz1 - tfracv^2c^2gr) = L0,raiz1 - tfracc^2c^2 = L0,raiz0 = 0
Passo 4
O limite lateral pela esquerda (vto c^-) foi necessário porque para v>c o termo 1 - tfracv^2c^2 fica negativo e raiz,1 - v^2/c^2, não está definido no conjunto dos números reais. Fisicamente, velocidades maiores que c não ocorrem, então só faz sentido aproximar de c por valores menores.
Resposta
limv to c^- L = 0
O limite lateral à esquerda é exigido porque para v>c a expressão sob a raiz seria negativa, tornando a raiz não definida em R.