Exercício 8. [resolução]
De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto, por exemplo, um foguete, parece a um observador depender da velocidade em que o objeto viaja em relação ao próprio observador. Se o observador medir o comprimento L0 do foguete em repouso, então, à velocidade v, o comprimento parecerá
L=L0 raiz1-v^2c^2,
em que c é a velocidade da luz no vácuo, cerca de 3 times 10^8 m / s. Essa equação é a fórmula da contração de Lorentz. O que acontece com L à medida que v aumenta? Determine lim v c^- L. Por que o limite lateral à esquerda foi necessário?

1 Resoluções dos exercícios:

Resolução do Ex. 1 [voltar]

a) lim x +infty 1x^2=0 (tendendo por valores positivos).
b) lim x -infty 1x^3=0 (tendendo por valores negativos).
c) 5+underbrace1xx +infty+underbrace3x^2x +infty undersetx +inftylongrightarrow 5, portanto: lim x -infty 5+1x+3x^2=5.
d) 2-undersetsubstackx 0 x +infty1x undersetx +inftylongrightarrow 2, portanto: lim x +infty 2-1x.
e) 2 x+1x+3= & underbrace2 x+6x+3x +3-5x+3=2-underbrace5x+3x +infty- x +infty 2^+ & =2(x+3)x+3
f) 2 x+1x+3=2 x+6x+3-5x+3=2-underbrace5x+3x +infty undersetx +inftylongrightarrow 2^+, portanto: lim x -infty 2 x+1x+3=2.
g) x^2-2 x+33 x^2+x+1=x^2 cdot(1-2x+3x^2)3 x^2 cdot(1+13 x+13 x^2)=1 cdot overbrace(1-2x+3x^2)^(underbracelongrightarrowx -infty 13 cdot(1+13 x+13 x^2) undersetx -inftylongrightarrow 13.
Todas as funções racionais podem ser tratadas de maneira similar aos casos e ), f ) e g ).
Na prática, é bom saber a regra geral seguinte:
Sendo dois polinômios am x^m+cdots+a1 x+a0 e bn x^n+cdots+b1 x+b0 temos:
lim x +infty am x^m+cdots+a1 x+a0bn x^n+cdots+b1 x+b0 & =lim x +infty am x^mbn lim x -infty am x^m+cdots+a1 x+a0bn x^n+cdots+b1 x+b0 & =lim x -infty am x^mbn x^n
Implicitamente, nestas formulas, am neq 0 e bn neq 0 (isso é: são polinômios de grau m e n, respectivamente). Ressalta-se também que esta regra só se aplica para limites em pm infty, não valendo para x p.
No caso g ) por exemplo: lim x -infty x^2-2 x+33 x^2+x+1=lim x -infty x^23 x^2=13.
Mesmo assim, é bom saber tratar a mão, pois as mesmas técnicas permitem, combinado com raízes por exemplo, calcular outros limites (veja as questões k ), l ) etc… abaixo: o exercício é muito bem feito com relação a isso, pois complica gradualmente as questões, que são para serem resolvidas uma depois da outra, na sequência).
h) 5 x^4-2 x+14 x^4+3 x+2=5 x^4 cdot(1-2x^3+1x^4)4 x^4 cdot(1+3x^3+2x^4) undersetx +inftylongrightarrow 54
Ou, diretamente usando a regra: lim x +infty 5 x^4-2 x+14 x^4+3 x+2=lim x +infty 5 x^44 x^4=54.
i) xx^2+3 x+1=xx^2(1+3x+1x^2)=underbrace1x cdot(1+3x+1x^2)x +infty undersetx inftylongrightarrow 0.
Ou, diretamente usando a regra: lim x +infty xx^2+3 x+1=lim x +infty xx^2=lim x +infty 1x=0.
Observação: Mesmo que ajuda entender, é melhor evitar escrever o seguinte tipo de coisas:
lim x +infty 1x=1+infty=0
pois +infty não é um número real, e não tem um bom comportamento algébrico (tipo: 0 cdot+infty= ?)
j) 2 x^3+1x^4+2 x+3=2 x^3 cdot(1+12 x^3)x^4 cdot(1+2x^3+3x^4)=2 cdot overbrace(1+12 x^3)^underbracelongrightarrowx -infty ^1 cdot underbrace(1+2x^3+3x^4)x -inftyunderbracexx -infty 1 underbracex -infty 0^-.
Ou, diretamente usando a regra: lim x -infty 2 x^3+1x^4+2 x+3=lim x -infty 2 x^3x^4=lim x -infty 2x=0^-.
k) raiz[3]5+underbrace2xx +infty 0=raiz[3]5, onde usamos a continuidade de raiz[3]y no ponto 5 .
Portanto, lim x +infty raiz[3]5+2x=raiz[3]5.
l) raiz[3]xx^2+3=raiz[3]xx^2 cdot(1+3x^2)=raiz[3]1underbracex cdot(1+3x^2)x -infty undersetx -inftylongrightarrow raiz[3]0=0.
Portanto, lim x -infty raiz[3]xx^2+3=0.
m) raizx^2+13 x+2=raizx^2(1+1x^2)3 x(1+2x)=raizx^2(1+1x^2)9 x^2(1+2x)^2=raiz1+1x^29(1+2x)^2 undersetx +infty raiz19=13.
Portanto, lim x +infty raizx^2+13 x+2=13.
n) raiz[3]x^3+2 x-1raizx^2+x+1=raiz[3]x^3 cdot(1+2x^2-1x^3)raizx^2 cdot(1+1x+1x^2)=x cdot raiz[3]1+2x^2-1x^3|x| cdot raiz1+1x+1x^2 undersetx inftylongrightarrow 1.
Portanto, lim x +infty raiz[3]x^3+2 x-1raizx^2+x+1=1.
o) Uma primeira tentativa seria:
x-raizx^2+1=x-raizx^2 cdot(1+1x^2) underset(x >= 0)= x-x cdot raiz1+1x^2=underbracexx +infty+infty cdot underbrace(1-raiz1+1x^2)x +infty
mas dá uma indeterminada (0 cdot+infty). Outra estrategia é aproveitar da igualdade (a-b)(a+b)=a^2-b^2 para se desfazer da raiz, como segue:
x-raizx^2+1 & =(x-raizx^2+1) cdot x+raizx^2+1x+raizx^2+1 & =(x-raizx^2+1) cdot(x+raizx^2+1)x+raizx^2+1 & =x^2-x^2-1x+raizx^2+1 & =underbrace-1x+raizx^2+1x infty taxx +infty 0
Portanto, lim x +infty x-raizx^2+1=0.
Comparando ambos gráficos, obtemos:

p) Seguindo a mesma estrategia do que a questão precedente:
raizx+1-raizx+3 & =(raizx+1-raizx+3) cdot raizx+1+raizx+3raizx+1+raizx+3 & =(raizx+1-raizx+3) cdot(raizx+1+raizx+3)raizx+1+raizx+3 & =x+1-x-3raizx+1+raizx+3 & =4raizx+1+raizx+3 undersetx +inftylongrightarrow 0
Portanto, lim x +infty raizx+1-raizx+3=0. Comparando ambos gráficos:

a) x^4-3 x+2=underbracex^4x +infty+infty cdot underbrace(1-3x^3+2x^4)x +infty undersetx +inftylongrightarrow+infty.
Portanto: lim x +infty x^4-3 x+2=+infty.
b) 5-4 x+x^2-x^5=underbracex^5x +infty+infty cdot underbrace(5x^5-4x^3+1x^3-1)x +infty undersetx +inftylongrightarrow-infty.
Portanto: lim x +infty 5-4 x+x^2-x^5=+infty.
c) 3 x^3+2 x+1=underbracex^3x -infty-infty cdot underbrace(3+2x^2+1x^3+1x^3)x -infty undersetx +inftylongrightarrow-infty
Portanto: lim x -infty 3 x^3+2 x+1=-infty.
d) lim x +infty x^3-2 x+3=+infty.
e) lim x +infty 5 x^3-6 x+16 x^3+2=56.
f) lim x +infty 5 x^3-6 x+16 x^2+x+3=+infty.
g) lim x +infty 5 x^3+7 x-3x^4-2 x+3=0.
h) lim x -infty 2 x+3x+1=2.
i) lim x -infty x^4-2 x+33 x^4+7 x-1=13.
j) lim x -infty 5-x3+2 x=-12
k) lim x +infty x+1x^2-2=0.
l) lim x +infty 2+x3+x^2=0.

Resolução do Ex. 3 [voltar]

a) raizx+1x+3=raizxx+3+1x+3=raizxx+3+1x+3 underset(x >= 0)= underbrace1raizx+3raizxx +infty+underbrace1x+3x +infty undersetx +inftylongrightarrow 0
Outro método:
raizx+1x+3=(raizx+1) cdot(raizx-1)(x+3) cdot(raizx-1) underset(x >= 0)= x-1(x+3) cdot(raizx-1)=underbracex-1x +3substackx +infty x+3 cdot underbrace1raizx-1substacklongrightarrow x +infty undersetx +infty 0
Portanto: lim x +infty raizx+1x+3=0.
b) x+raizx+32 x-1=x2 x-1+raizx+32 x-1=underbracex2 x-1substackx +infty 2 x-1+raizunderbracex+3(2 x-1)^2x +infty undersetx +inftylongrightarrow 12+0=12.
Outro método: por mudança de variável, tomando y:=raizx+3 undersetx +inftylongrightarrow+infty pode-se desfazer facilmente da raiz:
x+raizx+32 x-1=y^2-3+y2(y^2+3)-1=y^2+y-32 y^2+5 undersety +inftylongrightarrow 12
Portanto: lim x +infty x+raizx+32 x-1=12.
c)
2 x-raizx^2+3 & =2 x-|x| cdot raiz1+3x^2 & =2 x-x cdot raiz1+3x^2=underbracexx +infty+infty (x >= 0) & =underbrace(2-raiz1+3x^2)x +infty undersetx +inftylongrightarrow+infty
Portanto: lim x +infty 2 x-raizx^2+3=+infty.
d) x-raiz3 x^2+2 underset(x >= 0)= x-raiz3 x cdot raiz1+23 x^2=underbracexx +infty+underbrace(1-raiz3 raiz1+23 x^2)x +infty undersetx +inftylongrightarrow-infty.
Portanto: lim x +infty x-raiz3 x^2+2=-infty. Aqui, note que 1-raiz3<0 é negativo !
e) x-raiz3 x^3+2=x-x^3 / 2 raiz3+2x^3=underbracex^3 / 2+inftyx +infty cdot underbrace(1raizx-raiz3+2x^3)x +infty undersetx +inftylongrightarrow-infty.
Portanto: lim x +infty x-raiz3 x^3+2=-infty.
f) x-raizx+3=x-x^2 raiz1+3x^3=x^2 cdot underbrace(1x-raiz1+3x^3)x +infty undersetx +inftylongrightarrow+infty.
Outro método: por mudança de variável y:=raizx+3 undersetx +inftylongrightarrow+infty, obtemos:
x-raizx+3=y^2-3+y=y^2 cdot(1-3y^2+1y) undersetx +inftylongrightarrow+infty
Portanto: lim x +infty x-raizx+3=+infty.
g) Aproveitando da identidade (a+b)(a-b)=a^2-b^2, obtemos:
raizx+raizx-raizx-1 & =(raizx+raizx-raizx-1) cdot(raizx+raizx+raizx-1)raizx+raizx+raizx-1 & =x+raizx-x+1raizx+raizx+raizx-1 & =raizx+1raizx+raizx+raizx-1 & =raizx cdot(1+1raizx)raizx cdot(raiz1+1raizx+raiz1-1x) & =1+1raizxraiz1+1raizx+raiz1-1x undersetx +inftylongrightarrow 12
Portanto: lim x +infty raizx+raizx-raizx-1=12.
h) x-raiz[3]2+3 x^3=x-x cdot raiz[3]2x^3+3=x underbrace(1-raiz[3]2x^3+3)x +infty undersetx +inftylongrightarrow undersetx +inftylongrightarrow-infty.
Portanto: lim x +infty x-raiz[3]2+3 x^3=-infty.

Resolução do Ex. 4 [voltar]

Cuidado com limites do tipo:
1f(x) onde f(x) undersetx plongrightarrow 0
Em geral, um limite não existe (se f mudar de sinal perto de x=p, por exemplo).
Caso f tem sinal constante, positivo ou negativo, perto de x=p temos:
& f(x) undersetx plongrightarrow 0^+ Rightarrow 1f(x) undersetx plongrightarrow+infty & f(x) undersetx plongrightarrow 0^- Rightarrow 1f(x) undersetx plongrightarrow-infty
Nas duas expressões acima, ainda pode-se trocar x p por um limite lateral x p^+ou x p^-, continuam valendo.
Caso quer calcular um limite do tipo g(x)f(x), não esqueça de cuidar do sinal de g também.
a) 5underbrace3-xsubstackx 0^+ x 0^+ undersetx 0^+longrightarrow-infty, portanto: lim x 3^+ 53-x=-infty.
b) 4underbracex-3substackx 0^- x 3^- undersetx 3^-longrightarrow-infty, portanto: lim x 3^- 4x-3=-infty.
c) 4underbrace2 x-1substackx 12^+ undersetx 12^+longrightarrow+infty, portanto: lim x 12^+ 42 x-1=+infty
d) lim x 0^- 1x=-infty.
e) 2 x+1x=2+1x undersetx 0^+longrightarrow+infty, portanto: lim x 0^+ 2 x+1x=+infty.
f) x-3x^2=x(1-3x)x^2=overbraceunderbracelongrightarrowx 0^-^x 0^-1-3x underbracelongrightarrow 1>0x 0^--infty, portanto lim x 0^- x-3x^2=-infty.
g) 3x^2-x=underbrace3x(x-2)substackx 0^+ x 0^+ undersetx 0^+longrightarrow+infty, portanto: lim x 0^+ 3x^2-x=+infty.
h) 3x^2-x=underbrace3x(x-2)substacklongrightarrow 0^+ x 0^- undersetx 0^-longrightarrow+infty, portanto: lim x 0^- 3x^2-x=+infty.
i) overbraceunderbraceoverbrace3 x+1^x^2-1x 1^+^overbracex 1^++4>0 undersetx 1^+longrightarrow+infty, portanto: lim x 1^+ 3 x+1x^2-1=+infty.
undersetx 1^-longrightarrow 5>0
j) overbrace2 x+3underbracesubstackx^2-1 x 1^- undersetx 1^+longrightarrow-infty, portanto: lim x 1^- 2 x+3x^2-1=-infty.
k) 2 x+3x^2+x=underbraceundersetx 1+2 x+3x(x+1)substackx 0^- x -1^+ undersetx -1^+longrightarrow+infty, portanto: lim x -1^+ 2 x+3x^2+x=-infty.
Se precisar, faça uma tabela de sinais para ver que x(x+1) tende a 0 por valores negativas quando x -1 a esquerda.
l) x^2-3 xx^2-6 x+9=x(x-3 x)(x-3)^2=xx-3=overbracexunderbracex-3x 3^+ undersetx 3^+longrightarrow+infty, portanto: lim x 3^+ x^2-3 xx^2-6 x+9=+infty.
undersetx -1+longrightarrow-1<0
m) 2 x+1x^2+x=overbrace2 x+1underbracex(x+1)x -1^+ undersetx -1^+longrightarrow+infty, portanto: lim x -1^+ 2 x+1x^2+x=+infty.
n) 2 x+1x^2+x=underbracestackrelundersetx(x+1)longrightarrow 1>02 x+1undersetx 0^+overbracex 0^+ undersetx 0^+longrightarrow+infty, portanto: lim x 0^+ 2 x+1x^2+x=+infty.
o) 3 x-5x^2+3 x-4=underbraceoverbrace3 x-5^longrightarrow-5<0substack^+ 0^+ (x+4)(x-1) undersetx 1^+longrightarrow-infty, portanto: lim x 1^+ 3 x-5x^2+3 x-4=-infty.
Aqui, se precisar, calcule o Bhaskara para fatorar x^2+3 x-4=(x+4)(x-1), e faça uma tabela de sinais para ver que tende a 0 por valores positivas quando x 1^+.
p) x^2-4x^2-4 x+4=(x+2)(x-2)(x-2)^2=overbrace(x+2)^undersetx 2longrightarrow+4>0underbracex-2x 2^+ undersetx 2^+longrightarrow+infty, portanto: lim x 2^+ x^2-4x^2-4 x+4=+infty.
q) 3 x^2-41-x^2=(x+2)(x-2)(x-2)^2=underbraceoverbrace3 x^2-4^longrightarrow(1+x)(1-x)undersetx 1^+longrightarrow 0^+ undersetx 2^+longrightarrow-infty, portanto: lim x -1^+ 3 x^2-41-x^2=-infty.
r) sen xx^3-x^2=underbracesen xxsubstackx 0^+ longrightarrow cdot underbrace1x(x-1)substackx 0^- x 0^+ undersetx 0^+longrightarrow-infty, portanto: undersetx 0^+lim sen xx^3-x^2=-infty.

Resolução do Ex. 5 [voltar]

O limite pode ser basicamente qualquer coisa, seguem vários exemplos:
  1. Tome f(x)=x e g(x)=x-7, então lim x +infty f(x)=+infty e lim x +infty g(x)=+infty, porem f(x)-g(x)=7 é constante, portanto:
lim x +infty f(x)-g(x)=7
  1. Tome f(x)=x^2 e g(x)=x, então lim x +infty f(x)=+infty e lim x +infty g(x)=+infty, porem f(x)-g(x)= x(x-1) portanto:
lim x +infty f(x)-g(x)=+infty
  1. Tome f(x)=x e g(x)=x^2, então lim x +infty f(x)=+infty e lim x +infty g(x)=+infty, porem f(x)-g(x)= x(1-x) portanto:
lim x +infty f(x)-g(x)=-infty
  1. Tome f(x)=x+sin (x) e g(x)=x, então lim x +infty f(x)=+infty e lim x +infty g(x)=+infty, porem f(x)- g(x)=sin (x) portanto:
lim x +infty f(x)-g(x) não existe ã

Resolução do Ex. 6 [voltar]

De novo, um tal limite pode ser qualquer coisa (alem de -infty ). Seguem vários exemplos:
  1. Tome f(x)=x e g(x)=7 x, então lim x +infty f(x)=+infty e lim x +infty g(x)=+infty, porem f(x)g(x)=7 é constante, portanto:
lim x +infty f(x)g(x)=7
  1. Tome f(x)=x^2 e g(x)=x, então lim x +infty f(x)=+infty e lim x +infty g(x)=+infty, porem f(x)g(x)=x portanto:
lim x +infty f(x)g(x)=+infty
  1. Tome f(x)=x e g(x)=x^2, então lim x +infty f(x)=+infty e lim x +infty g(x)=+infty, porem f(x)g(x)=1x portanto:
lim x +infty f(x)g(x)=0
  1. Tome f(x)=x sin (x) e g(x)=x, então lim x +infty f(x)=+infty e lim x +infty g(x)=+infty, porem f(x)g(x)=sin (x) portanto:
lim x +infty f(x)g(x) não existe ã
Resolução do Ex. 7 [voltar] Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça as seguintes condições:
a) Segue o gráfico da função:
f(x)=x^3+(2 raiz2-1) xraizx^6+1
que satisfaz as condições: f(0)=0, f(1)=2, f(-1)=-2, lim x -infty f(x)=-1 e lim x +infty f(x)=1.
( x from -3.1 to 3.1 )

b) Segue o gráfico da função:
f(x)=2x raiz1x^2+1
que satisfaz as condições: f(0)=0, lim x -infty f(x)=0, lim x +infty f(x)=0, lim x 0^+ f(x)=2 e lim x 0^- f(x)=-2.

Resolução do Ex. 8 [voltar]

Temos:
L=L0 cdot underbraceraiz1-1^-substackundersetv c^-underbrace+ v c^- undersetv c^-stackrelv^2c^2 0^+
portanto lim v c^- L=0. O limite lateral à esquerda foi necessário pois para v>c, 1-v^2c^2 é negativo, e a raiz raiz1-v^2c^2 não é definida.)

Passo 1

O enunciado apresenta a fórmula da contração de Lorentz na relatividade restrita, que diz que se um observador mede o comprimento de repouso L0 de um foguete, então quando o foguete se move com velocidade v relativa ao observador, o comprimento aparente é
L = L0,raiz1 - v^2c^2,
onde c é a velocidade da luz no vácuo. O que queremos é entender o que acontece com L conforme v aumenta e, em particular, calcular
limv to c^- L
O conteúdo principal aqui é o cálculo de limite e a noção de limite lateral, pois a expressão dentro da raiz fica negativa se v>c, o que não faz sentido físico nem matemático no domínio real.

Passo 2

Vamos analisar qualitativamente o fator de contração
raiz1 - v^2c^2
Quando v=0, temos raiz1 - 0=1, ou seja L=L0. À medida que v cresce, o quociente tfracv^2c^2 aumenta de 0 em direção a 1, e portanto 1-tfracv^2c^2 diminui de 1 em direção a 0. Logo o fator raiz1 - v^2/c^2 tende a 0 quando v se aproxima de c.

Passo 3

Para calcular o limite, substituímos v por c na expressão, lembrando que é um limite pela esquerda:
limv to c^- L = limv to c^- gl(L0,raiz1 - tfracv^2c^2gr) = L0,raiz1 - tfracc^2c^2 = L0,raiz0 = 0

Passo 4

O limite lateral pela esquerda ( vto c^-) foi necessário porque para v>c o termo 1 - tfracv^2c^2 fica negativo e raiz,1 - v^2/c^2, não está definido no conjunto dos números reais. Fisicamente, velocidades maiores que c não ocorrem, então só faz sentido aproximar de c por valores menores.

Resposta

limv to c^- L = 0
O limite lateral à esquerda é exigido porque para v>c a expressão sob a raiz seria negativa, tornando a raiz não definida em R.

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