Exercício 3. [resolução]
Mostre que a função
não é contínua em
.
Mostre que a função
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função por partes f(x)=2x se x≤1 e f(x)=1 se x>1 não é contínua em x=1. Vamos usar o conceito de continuidade: f é contínua em x=1 se, e somente se, limₓ→1⁻f(x)=limₓ→1⁺f(x)=f(1).
Passo 2
Para calcular o limite pela esquerda, note que para x<1 vale f(x)=2x. Então temos
limₓ→1⁻f(x)=limₓ→1⁻(2x)=2·1=2.
Passo 3
Para o limite pela direita, para x>1 vale f(x)=1. Assim
limₓ→1⁺f(x)=limₓ→1⁺1=1.
Passo 4
Avaliando o valor da função em x=1, como 1≤1 usamos f(1)=2·1=2. Observamos que limₓ→1⁻f(x)=2 e limₓ→1⁺f(x)=1 são diferentes, logo não existe limite em x=1, e portanto f não é contínua em x=1.
Resposta
A função f não é contínua em x=1.