Lembramos que para todo x in R temos sumn=0^+infty x^nn!=e^x, sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n(2 n)!=cos x e sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!= sen x. Usando esse fato, calcular as somas seguintes dentro do seus dominios de convergencia (depois de achar o raio de convergencia) :
sumn=0^+infty n^3+5 n^2+3 n-1(n+2)! x^nDica: verificar que n^3+5 n^2+3 n-1=(n+2)(n+1) n+2(n+2)(n+1)-5(n+2)+5 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série S(x)=sumn=0^+inftyn^3+5n^2+3n-1(n+2)!,x^n, encontrar o raio de convergência e dar uma forma fechada usando séries conhecidas (em particular a expansão de e^x). Vamos usar o “mapa da mina” indicado pela dica para decompor o numerador e expressar S(x) em termos de e^x.

Passo 2

Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão: analisamos o termo geral an=n^3+5n^2+3n-1(n+2)!. Calculamos
limntoinfty|an+1x^n+1anx^n| =limntoinfty|x|n+3=0
como esse limite é <1 para todo x, o raio de convergência é R=+infty.

Passo 3

Usando a dica, escrevemos
n^3+5n^2+3n-1=(n+2)(n+1)n;+ 2(n+2)(n+1);- 5(n+2);+5
Isso nos deixa com somas cujos termos são fáceis de relacionar a fatoriais.

Passo 4

Logo,
S(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1)n(n+2)!x^n +2sumn=0^infty(n+2)(n+1)(n+2)!x^n -5sumn=0^inftyn+2(n+2)!x^n +5sumn=0^infty1(n+2)!x^n

Passo 5

Agora note que
(n+2)(n+1)n(n+2)!=1(n-1)!, (n+2)(n+1)(n+2)!=1n!, n+2(n+2)!=1(n+1)!
Assim
S(x)=sumn=1^inftyx^n(n-1)! +2sumn=0^inftyx^nn! -5sumn=0^inftyx^n(n+1)! +5sumn=0^inftyx^n(n+2)!

Passo 6

Usando séries conhecidas:
sumn=0^inftyx^nn!=e^x.
sumn=0^inftyx^n(n+1)!=e^x-1x.
sumn=0^inftyx^n(n+2)!=e^x-1-xx^2.
E ainda
sumn=1^inftyx^n(n-1)! =xsumm=0^inftyx^mm!=x e^x

Passo 7

Finalmente juntamos tudo:
S(x)=x e^x+2e^x-5e^x-1x+5e^x-1-xx^2
Fazendo simplificação algébrica, chega-se a
S(x)=e^xl(x^3+2x^2-5x+5r)-5x^2,
válido para todo xneq0, estendendo-se por continuidade em x=0.

Resposta

O raio de convergência é R=+∞ e, para todo x≠0, a soma vale
S(x)=e^xl(x^3+2x^2-5x+5r)-5x^2
Em particular, por continuidade, S(0)=−\tfrac12.

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