Nos Problemas 27-34, mostre que a função f é contínua no ponto especificado.
f(z)=z-3 iz^2+2 z-1 ; z0=1+i

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(z)=z-3iz^2+2z-1 é contínua no ponto z0=1+i. O assunto aqui é continuidade de funções complexas, e vamos precisar usar que somas, produtos e quocientes de funções polinomiais são contínuos onde o denominador não se anula.

Passo 2

A função f é um quociente de polinômios em z, ou seja, soma, produto e divisão de funções contínuas. Portanto, ela será contínua em todo ponto onde o denominador z^2+2z-1 for diferente de zero.

Passo 3

Precisamos verificar que o denominador não se anula em z0=1+i. Calculamos primeiro (1+i)^2:
(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i

Passo 4

Agora o denominador em z0 é
(1+i)^2+2(1+i)-1=2i+2+2i-1=1+4i

Passo 5

Como 1+4ineq0, o denominador não se anula em z0. Logo, por ser quociente de funções polinomiais e ter denomidador não nulo em z0, a função f é contínua em z0=1+i.

Resposta

A função f é contínua em z₀=1+i, pois o denominador z²+2z−1 vale 1+4i≠0 nesse ponto.

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