Nos Problemas 27-34, mostre que a função f é contínua no ponto especificado.
llz^3-1z-1, & |z| neq 1 3, & |z|=1

Passo 1

Temos a função f dada por:
f(z) = z^3 - 1z - 1, & |z| neq 1, 3, & |z| = 1,
Queremos mostrar que ela é contínua em z0 = 1. Para isso, vamos usar a definição de continuidade em variáveis complexas: é preciso verificar se limz to z0 f(z) = f(z0).

Passo 2

Para z neq 1 (ou seja, |z| neq 1) podemos fatorar o numerador:
z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1)
Logo, para |z| neq 1 temos
f(z) = z^2 + z + 1

Passo 3

Agora calculamos limz to 1 f(z) considerando os dois ramos da definição:
  • Se |z| neq 1, então f(z) = z^2 + z + 1. Como polinômio é contínuo no plano complexo, temos
limz to 1 (z^2 + z + 1) = 1^2 + 1 + 1 = 3
  • Se |z| = 1 com z neq 1, então f(z) = 3 para todos esses pontos, logo
limz to 1 f(z) = 3
Em ambos os casos o limite é 3.

Passo 4

Pela definição da função temos f(1) = 3. Como limz to 1 f(z) = 3 = f(1), concluímos que f é contínua em z0 = 1.

Resposta

A função f é contínua em z0 = 1, pois limz to 1 f(z) = f(1) = 3.

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