Exercício 4. [resolução]
Verifique se a função
é contínua em
. Em caso afirmativo, use a definição para demonstrar.
Verifique se a função
Passo 1
Estamos analisando a continuidade da função definida por
O conteúdo é continuidade de funções em um ponto e vamos precisar da definição
-
de limite e da noção de limite lateral.
Passo 2
Primeiro, calculamos o valor de
em zero: como
, vale
Esse será nosso candidato a limite
em
.
Passo 3
Agora, verificamos os limites laterais em
:
- Para
, e logo
- Para
, e, fazendo ,
Como ambos os lados dão o mesmo valor, o limite existe e é.
Passo 4
Para usar a definição de continuidade, precisamos mostrar que para todo
existe
tal que, sempre que
, teremos
Analisamos os dois casos:
- Se
, então e para qualquer . - Se
, então e
Passo 5
Queremos garantir
. Basta impor
Assim, podemos escolher
Com essa escolha, sempre que
teremos
em ambos os ramos.
Passo 6
Portanto, para todo
existe
que satisfaz a definição de limite, mostrando que
e, consequentemente,
é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em
.