Exercício 4. [resolução]
Verifique se a função cx^2+1, se x >= 0 1, se x<0 é contínua em x=0. Em caso afirmativo, use a definição para demonstrar.

Passo 1

Estamos analisando a continuidade da função definida por
f(x)= x^2+1,&x>=0, 1,&x<0,
O conteúdo é continuidade de funções em um ponto e vamos precisar da definição varepsilon- de de limite e da noção de limite lateral.

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor de f em zero: como 0>=0, vale
f(0)=0^2+1=1
Esse será nosso candidato a limite L em x=0.

Passo 3

Agora, verificamos os limites laterais em xto0:
  • Para x<0, f(x)=1 e logo
    limxto0^-f(x)=1
  • Para x>0, f(x)=x^2+1 e, fazendo xto0^+,
    limxto0^+(x^2+1)=0^2+1=1
    Como ambos os lados dão o mesmo valor, o limite existe e é 1.

Passo 4

Para usar a definição de continuidade, precisamos mostrar que para todo varepsilon>0 existe de0 tal que, sempre que |x-0|, teremos
|f(x)-f(0)|=|f(x)-1|
Analisamos os dois casos:
  • Se x<0, então f(x)=1 e |f(x)-1|=0 para qualquer de.
  • Se x>=0, então f(x)=x^2+1 e
|f(x)-1|=x^2=|x|^2

Passo 5

Queremos garantir |x|^2. Basta impor
|x|
Assim, podemos escolher
de
Com essa escolha, sempre que |x| teremos |f(x)-1| em ambos os ramos.

Passo 6

Portanto, para todo varepsilon>0 existe de que satisfaz a definição de limite, mostrando que
limxto0f(x)=f(0)=1
e, consequentemente, f é contínua em x=0.

Resposta

A função f é contínua em x=0.

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