Exercício 6. [resolução]
Seja 3-x, & se x<2 x2+1, & se x>2
a) Determine lim x 2^+ f(x) e lim x 2^- f(x).
b) Existe lim x 2 f(x) ? Justifique sua resposta.
c) Determine lim x 4^+ f(x) e lim x 4^- f(x).
d) Existe lim x 4 f(x) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes
f(x)=3 - x, &se x<2[6pt]x2+1,&se x>2
Precisamos usar limites laterais e a definição de existência de limite para função por partes.

Passo 2

Para calcular limxto2^-f(x) usamos a expressão válida para x<2, que é 3 - x. Fazendo xto2 temos:
limxto2^-f(x)=limxto2^-(3 - x)=3 - 2=1

Passo 3

Para calcular limxto2^+f(x) usamos a expressão para x>2, que é x/2+1. Fazendo xto2 temos:
limxto2^+f(x)=limxto2^+l(x2+1r)=22+1=2

Passo 4

Como as duas laterais em x=2 são diferentes ( 1neq2), não existe limxto2f(x).

Passo 5

Para x=4 ambas as laterais caem na região x>2, então usamos f(x)=x/2+1 dos dois lados. Calculando:
limxto4^-f(x)=42+1=3,
limxto4^+f(x)=42+1=3

Passo 6

Como as duas laterais em x=4 coincidem (ambas são 3), o limite limxto4f(x) existe e vale 3.

Resposta

a) limxto2^-f(x)=1 e limxto2^+f(x)=2.
b) Não existe limxto2f(x), pois as laterais são diferentes.
c) limxto4^-f(x)=3 e limxto4^+f(x)=3.
d) Existe limxto4f(x) e vale 3.

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