Se
for uma função para a qual
e
: é possível concluir que
? Jues tifique sua resposta.
Passo 1
Enunciado resumido e conteúdo (passo 1): O problema pergunta se, sabendo que
e
, podemos garantir que
. O conteúdo aqui é limite de função de variável complexa e o critério de existência de limite em
: deve ser o mesmo para toda trajetória que tende ao ponto.
Passo 2
Estratégia e construção de contraexemplo (passo 2): Para mostrar que não dá para concluir o limite geral, basta encontrar uma função cuja restrição aos eixos dê zero, mas que em outra trajetória dê valor diferente.
Passo 3
Definição do contraexemplo (passo 3): Definimos, para
e
, a função
e, opcionalmente, definimos
Passo 4
Verificação ao longo do eixo real (passo 4): Se
, então
e
Passo 5
Verificação ao longo do eixo imaginário (passo 5): Se
, então
e
Passo 6
Limite em outra trajetória (passo 6): Na reta
, temos
, logo
Isso mostra que na trajetória
Passo 7
Conclusão (passo 7): Como o limite depende da trajetória, não existe
, muito menos igual a zero.
Resposta
Não. Por exemplo, a função
apresenta limite zero ao longo dos eixos, mas tende a