Se f for uma função para a qual lim x 0 f(x+i 0)=0 e lim y 0 f(0+i y)=0 : é possível concluir que lim z 0 f(z)=0 ? Jues tifique sua resposta.

Passo 1

Enunciado resumido e conteúdo (passo 1): O problema pergunta se, sabendo que limxto0f(x+i0)=0 e limyto0f(0+iy)=0, podemos garantir que limzto0f(z)=0. O conteúdo aqui é limite de função de variável complexa e o critério de existência de limite em C: deve ser o mesmo para toda trajetória que tende ao ponto.

Passo 2

Estratégia e construção de contraexemplo (passo 2): Para mostrar que não dá para concluir o limite geral, basta encontrar uma função cuja restrição aos eixos dê zero, mas que em outra trajetória dê valor diferente.

Passo 3

Definição do contraexemplo (passo 3): Definimos, para z=x+iy e zneq0, a função
f(z)=Re(z),Im(z)|z|^2=x,yx^2+y^2,
e, opcionalmente, definimos f(0)=0.

Passo 4

Verificação ao longo do eixo real (passo 4): Se z=x+ i0, então y=0 e
f(x+i0)=xcdot 0x^2+0^2=0

Passo 5

Verificação ao longo do eixo imaginário (passo 5): Se z=0+iy, então x=0 e
f(0+iy)=0cdot y0^2+y^2=0

Passo 6

Limite em outra trajetória (passo 6): Na reta y=x, temos z=x+ix, logo
f(x+ix)=xcdot xx^2+x^2=x^22x^2=12( xneq0)
Isso mostra que na trajetória y=x o valor de f(z) tende a 1/2 quando xto0, não a zero.

Passo 7

Conclusão (passo 7): Como o limite depende da trajetória, não existe limzto0f(z), muito menos igual a zero.

Resposta

Não. Por exemplo, a função
f(z)=Re(z)Im(z)|z|^2=x,yx^2+y^2,
apresenta limite zero ao longo dos eixos, mas tende a 1/2 na reta y=x, logo o limite geral não existe.

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