Resolver as equações diferenciais seguintes em R :
a.

Passo 1

O enunciado pede para resolver na reta real a equação diferencial de primeira ordem (linear)
(x^2+1)y' - (x-1)^2y = x+1
O conteúdo da matéria é equações diferenciais lineares de primeira ordem e vamos precisar da fórmula do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão y' + P(x)y = Q(x). Dividindo ambos os lados por x^2+1 temos:
y' - (x-1)^2x^2+1,y = x+1x^2+1
Então P(x) = -(x-1)^2x^2+1 e Q(x)=x+1x^2+1.

Passo 3

Para achar o fator integrante mu(x) usamos:
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^-integral (x-1)^2x^2+1,dx
Note que:
(x-1)^2x^2+1 = 1 - 2xx^2+1
Logo
integral (x-1)^2x^2+1,dx = integral 1,dx - 2integral xx^2+1,dx = x - ln(x^2+1)
Portanto
mu(x) = e^-l(x - ln(x^2+1)r) = (x^2+1)e^-x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x). Do lado esquerdo surge a derivada:
mu(x)y' + mu(x)P(x)y = ddxl[mu(x)yr],
e o lado direito fica:
mu(x)Q(x) = (x^2+1)e^-xcdot x+1x^2+1 = (x+1)e^-x

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral ddxl[mu(x)yr]dx = integral (x+1)e^-xdx
Para calcular integral (x+1)e^-xdx somamos
integral x e^-xdx = -(x+1)e^-x,
e
integral e^-xdx = -e^-x
Assim
integral (x+1)e^-xdx = -(x+2)e^-x + C

Passo 6

Agora voltamos a y. Como mu(x)y = -(x+2)e^-x + C, temos
y = -(x+2)e^-x + C(x^2+1)e^-x = -x+2x^2+1 + Ce^xx^2+1

Resposta

A solução geral é y(x) = -x+2x^2+1 + K,e^xx^2+1, onde K é constante arbitrária.

Exercícios relacionados