(a) É verdade que para qualquer função complexa f ? Caso afirmativo, dê uma brevt justificativa; caso negativo, dê um contraexemplo.
(b) Se f(z) for uma função contínua em z0, é verdade que f(z) é contínua em z0 ?
Passo 1
Estamos lidando com limites e continuidade de funções complexas e vamos explorar como a conjugação interage com essas operações.
Passo 2
Para qualquer função f, se existir L=limzto z0f(z), então pela continuidade da conjugação temos
limzto z0f(z)=limzto z0f(z)=L
Por outro lado,
limzto z0f(overline z)=limwtoz0f(w)
(com a mudança de variável w=overline z). Para que limzto z0f(z)=limzto z0f(overline z)
é preciso que limzto z0f(z)=limwtoz0f(w),
ou seja f(z0)=f(z0) quando f for contínua.
Passo 3
Isso mostra que, em geral, não há garantia de igualdade dos dois limites a menos que f satisfaça f(z0)=f(z0). Por exemplo, tomemos a função constante não-real
f(z)=1+i
Então para qualquer z0 temos
limzto z0f(z)=1+i=1-i,
e
limzto z0f(overline z)=1+i,
que são diferentes. Logo a afirmação de (a) é falsa.
Passo 4
Para (b), se f é contínua em z0, então zmapstof(z) é composição de f com a conjugação, ambas contínuas. Logo f(z) é contínua em z0.
Resposta
(a) Não. Contraexemplo: f(z)=1+i dá limites distintos. (b) Sim, pois conjugação é contínua, logo zmapstof(z) é contínua onde f é.