Resolver as equações diferenciais seguintes em R :

Passo 1

Estamos resolvendo a equação diferencial (e^x-1)y' + (e^x+1)y = 3 + 2e^x. Trata-se de uma equação linear de primeira ordem, na forma y' + P(x)y = Q(x). Precisamos identificar P(x) e Q(x) e usar fator integrante.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por e^x-1 (pressupondo e^xneq1) e obtemos a forma padrão:
y' + e^x+1e^x-1,y = 3+2e^xe^x-1
Aqui identificamos
P(x)=e^x+1e^x-1, Q(x)=3+2e^xe^x-1

Passo 3

O fator integrante é
mu(x)=expl(integral P(x),dxr)
Para calcular integral P(x),dx escrevemos
integral e^x+1e^x-1,dx = integral l(1 + 2e^x-1r),dx = x + 2integral 1e^x-1,dx

Passo 4

Para integral 1e^x-1,dx fazemos t=e^x, dt=e^xdx, obtendo
integral dxe^x-1 = integral 1t-1dtt = integrall(-1t + 1t-1r)dt = -ln|t| + ln|t-1| + C
Voltando a x,
integral dxe^x-1 = lnl|tfrace^x-1e^xr| + C = ln|e^x-1| - x + C
Logo
integral P(x),dx = x + 2(ln|e^x-1|-x) = -x + 2ln|e^x-1|,
portanto mu(x)=e^-x(e^x-1)^2

Passo 5

Multiplicamos a equação original por mu(x). Pelo método de fatores integrantes, o lado esquerdo vira
$$\frac{d}{dx}\bigl[e{-x}(e{x}-1)^{2}y\bigr] = e{-x}(e{x}-1){2}\cdot\frac{3+2e{x}}{e^{x}-1} = 2e^{x} + 1 - 3e^{-x}.
$$

Passo 6

Integramos ambos os lados:
integral (2e^x + 1 - 3e^-x),dx = 2e^x + x + 3e^-x + C
Assim
e^-x(e^x-1)^2y = 2e^x + x + 3e^-x + C

Passo 7

Isolando y, obtemos
y = e^x(2e^x + x + 3e^-x + C)(e^x-1)^2 = 2e^2x + e^x(x + C) + 3(e^x-1)^2
Essa é a solução geral da equação diferencial em R, com constante arbitrária C.

Resposta

y(x) = \frac{2e^{2x} + e^{x}(x + C) + 3}{(e{x}-1){2}}

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