Estamos resolvendo a equação diferencial . Trata-se de uma equação linear de primeira ordem, na forma . Precisamos identificar e e usar fator integrante.
Passo 2
Dividimos ambos os lados por (pressupondo ) e obtemos a forma padrão:
Aqui identificamos
Passo 3
O fator integrante é
Para calcular escrevemos
Passo 4
Para fazemos , , obtendo
Voltando a ,
Logo
integral P(x),dx = x + 2(ln|e^x-1|-x) = -x + 2ln|e^x-1|,
portanto mu(x)=e^-x(e^x-1)^2
Passo 5
Multiplicamos a equação original por mu(x). Pelo método de fatores integrantes, o lado esquerdo vira
integral (2e^x + 1 - 3e^-x),dx = 2e^x + x + 3e^-x + C
Assim e^-x(e^x-1)^2y = 2e^x + x + 3e^-x + C
Passo 7
Isolando y, obtemos
y = e^x(2e^x + x + 3e^-x + C)(e^x-1)^2 = 2e^2x + e^x(x + C) + 3(e^x-1)^2
Essa é a solução geral da equação diferencial em R, com constante arbitrária C.
Resposta
y(x) = \frac{2e^{2x} + e^{x}(x + C) + 3}{(e{x}-1){2}}