Lembramos que para todo x in(-1,1) temos sumn=1^+infty x^n=x1-x. Usando esse fato, desenvolver em séries de potencias as funçoes seguintes :
1(x-1)(x-2)

Passo 1

A função em questão é f(x)=1(x-1)(x-2). Vamos desenvolver essa função em série de potências para |x|<1, usando a série geométrica e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Decompondo em frações parciais: queremos 1(x-1)(x-2)=Ax-1+Bx-2. Resolvendo para A e B, obtemos A=-1 e B=1. Logo
1(x-1)(x-2)=-1x-1+1x-2

Passo 3

Reescrevendo cada termo para poder usar a série geométrica:
-1x-1=11-x, 1x-2=-12-x=-12cdot11-x2

Passo 4

Aplicando a expansão geométrica para |x|<1:
11-x=sumn=0^infty x^n, 11-x2=sumn=0^infty l(x2r)^n

Passo 5

Substituindo na expressão de f(x) temos:
f(x)=sumn=0^infty x^n ; -; 12sumn=0^infty l(x2r)^n

Passo 6

Combinando as séries e simplificando o coeficiente geral:
f(x)=sumn=0^infty l(1-tfrac12^n+1r)x^n

Resposta

sumn=0^infty l(1-tfrac12^n+1r)x^n

Exercícios relacionados