Nos Problemas 27-34, mostre que a função f é contínua no ponto especificado.
f(z)=barz-3 Re(z)+i ; z0=3-2 i

Passo 1

Temos a função f:CtoC dada por f(z)=z-3Re(z)+i e queremos mostrar que ela é contínua no ponto z0=3-2i. O conteúdo aqui é continuidade de funções de variável complexa e vamos usar a definição em termos de varepsilon- de e o fato de que operações básicas (conjugação, parte real, soma, multiplicação por escalar) são contínuas.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy, temos z=x-iy e Re(z)=x. Assim
f(z)=(x-iy)-3x+i=-2x+i(-y+1)

Passo 3

e para z0=3-2i (ou seja, x0=3, y0=-2)
f(z0)=-2cdot3+i(-(-2)+1)=-6+3i

Passo 4

Agora usamos varepsilon- de. Para z=x+iy:
|f(z)-f(z0)|=l|-2(x-3)+i(-y-2)r|=raiz4(x-3)^2+(y+2)^2<=raiz5raiz(x-3)^2+(y+2)^2=raiz5,|z-z0|

Passo 5

Dado varepsilon>0, basta escolher de. Então, se |z-z0| segue |f(z)-f(z0)|, o que prova a continuidade de f em z0.

Resposta

A função f é contínua em z0=3-2i.

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