Exercício 1: Resolva cada EDO, problema de valor inicial ou de contorno.
e^z sen(2 s)+(e^2 z-z) cos s d zd s=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
e^zsin(2s);+;(e^2z-z)cos s,dzds=0
Este é um problema de primeira ordem sem condição inicial explícita, então buscamos a solução implícita geral.

Passo 2

Reescrevemos em forma diferencial total:
e^zsin(2s),ds ;+;(e^2z-z)cos s,dz = 0

Passo 3

Dividimos tudo por cos s e usamos sin(2s)=2sin scos s. Isso dá
2e^zsin s,ds ;+;(e^2z-z),dz = 0
e, isolando tfracdsdz,
dsdz = -e^2z-z2e^zsin s

Passo 4

Separamos as variáveis multiplicando por sin s:
sin s,ds = -e^2z-z2e^z,dz = -tfrac12l(e^z - z e^-zr),dz
Agora integramos:
integral sin s,ds = -cos s, integrall(e^z - z e^-zr),dz = e^z + (z+1)e^-z

Passo 5

Substituindo no separado e juntando a constante de integração C, obtemos
-cos s = -tfrac12l[e^z+(z+1)e^-zr] + C
ou, reorganizando,
cos s = tfrac12l[e^z+(z+1)e^-zr] + C

Resposta

A solução geral da EDO é dada implicitamente por
cos s ;=;e^z + (z+1)e^-z2 ;+; C

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