Exercício 1: Resolva cada EDO, problema de valor inicial ou de contorno.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
\frac{d u}{d t} - t,u = 2 + 2,u + t (sem condição inicial, então queremos a solução geral). Estamos em matéria de equações diferenciais lineares de primeira ordem e vamos usar fator integrante para resolver.
\frac{d u}{d t} - t,u = 2 + 2,u + t (sem condição inicial, então queremos a solução geral). Estamos em matéria de equações diferenciais lineares de primeira ordem e vamos usar fator integrante para resolver.
Passo 2
Primeiro, reorganiza a equação isolando todos os termos em
num lado:
Dada
subtraímos
de ambos os lados para ter o formato padrão
:
Passo 3
Em seguida, determinamos o fator integrante
. Lembrando que para
temos
Aqui
, então
Passo 4
Multiplicamos a equação original (na forma padrão) por
. O lado esquerdo vira derivada do produto:
Então obtemos
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo sobra
. Do lado direito, note que
, então
Passo 6
Portanto temos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a solução geral: