Exercício 1: Resolva cada EDO, problema de valor inicial ou de contorno.
d ud t-t u=2+2 u+t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
\frac{d u}{d t} - t,u = 2 + 2,u + t (sem condição inicial, então queremos a solução geral). Estamos em matéria de equações diferenciais lineares de primeira ordem e vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, reorganiza a equação isolando todos os termos em u num lado:
Dada
d ud t - t,u = 2 + 2,u + t,
subtraímos 2u de ambos os lados para ter o formato padrão u' + p(t)u = q(t):
d ud t - (t + 2),u = t + 2

Passo 3

Em seguida, determinamos o fator integrante mu(t). Lembrando que para u' + p(t)u = q(t) temos
mu(t) = e^integral p(t),dt
Aqui p(t) = -(t+2), então
mu(t) = e^integral -(t+2),dt = e^-(t^22 + 2t)

Passo 4

Multiplicamos a equação original (na forma padrão) por mu(t). O lado esquerdo vira derivada do produto:
mu(t)d ud t + mu(t),p(t),u = ddtl(u(t),mu(t)r)
Então obtemos
ddtl(u(t),e^-(t^22+2t)r) = (t+2),e^-(t^22+2t)

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddtl(u,e^-(t^22+2t)r),dt = integral (t+2),e^-(t^22+2t),dt
No lado esquerdo sobra u,e^-(t^22+2t). Do lado direito, note que
dl(-t^22-2tr)/dt = -(t+2), então
integral (t+2),e^-(t^22+2t),dt = -e^-(t^22+2t) + C

Passo 6

Portanto temos
u(t),e^-(t^22+2t) = -e^-(t^22+2t) + C
Multiplicando ambos os lados por e^t^22+2t obtemos a solução geral:
u(t) = -1 + C,e^t^22+2t

Resposta

u(t) = C,e^t^22 + 2t - 1

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