Exercício 1: Resolva cada EDO, problema de valor inicial ou de contorno.
d pd t=p2-450, p(0)=850

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO dea primeira ordem dpdt= p2-450 com condição inicial p(0)=850. O conteúdo aqui é equação diferencial linear de primeira ordem, e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação no formato padrão dpdt+a(t)p=b(t). Aqui temos: dpdt-12,p=-450

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t)=e^integral -12,dt=e^-t/2 Esse fator facilita transformar o lado esquerdo numa derivada exata.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por mu(t). O LHS vira derivada de p,e^-t/2:

Passo 5

e^-t/2dpdt-12 e^-t/2p=ddtl(p,e^-t/2r)

Passo 6

Assim a equação fica:

Passo 7

ddtl(p,e^-t/2r)=-450,e^-t/2

Passo 8

Integramos em relação a t. No RHS:

Passo 9

integral -450,e^-t/2,dt=-450cdot(-2)e^-t/2+C=900,e^-t/2+C

Passo 10

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Passo 11

p,e^-t/2=900,e^-t/2+CLongrightarrow p(t)=900+C,e^t/2

Passo 12

Finalmente, usamos a condição inicial p(0)=850. Substituindo:

Passo 13

850=900+CRightarrow C=-50

Passo 14

Portanto a solução geral que satisfaz a condição inicial é

Passo 15

p(t)=900-50,e^t/2

Resposta

p(t)=900-50,e^t/2

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