Exercício 1: Resolva cada EDO, problema de valor inicial ou de contorno.
3 x^2-2 x y+(6 y^2-x^2+3) y^prime=-2, y(-1)=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem com condição inicial
3x^2-2xy+l(6y^2-x^2+3r)y'=-2, y(-1)=0
Aqui vamos reconhecer que se pode escrever a equação na forma
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
e checar se é exata. Se for, encontraremos uma função potencial F(x,y) tal que dF=0, depois usaremos a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Reescrevendo em diferencial total, levamos o -2 para o lado esquerdo e escrevemos
3x^2-2xy+2+l(6y^2-x^2+3r)y'=0
ou seja
l(3x^2-2xy+2r),dx+l(6y^2-x^2+3r),dy=0
Assim identificamos
M(x,y)=3x^2-2xy+2, N(x,y)=6y^2-x^2+3

Passo 3

Para verificar se é exata, comparamos
partial Mpartial y=-2x, partial Npartial x=-2x
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos F(x,y) tal que
partial Fpartial x=M(x,y)=3x^2-2xy+2
Integrando em x temos
F(x,y)=integrall(3x^2-2xy+2r),dx =x^3-x^2y+2x+h(y),
onde h(y) é função a determinar. Agora impomos
partial Fpartial y=-x^2+h'(y) stackrel!=N(x,y)=6y^2-x^2+3
Logo
h'(y)=6y^2+3 Longrightarrow h(y)=2y^3+3y
Portanto a função potencial é
F(x,y)=x^3-x^2y+2x+2y^3+3y

Passo 5

A solução geral implícita vem de
F(x,y)=C,
isto é
x^3-x^2y+2x+2y^3+3y=C
Usando a condição y(-1)=0, obtemos
(-1)^3-(-1)^2cdot0+2(-1)+2cdot0^3+3cdot0 =-1-2=-3,
logo C=-3.

Resposta

boxedx^3-x^2y+2x+2y^3+3y=-3

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