Exercício 1: Resolva cada EDO, problema de valor inicial ou de contorno.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
Isso se enquadra em uma equação exata ou passível de ficar exata após manipulação. Nosso plano é reescrever no formato
verificar se
e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Multiplicamos ambos os lados por
e reorganizamos:
Logo, identificamos
Passo 3
Verificamos a exatidão conferindo
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Procuramos
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função desconhecida de
.
Agora impomos :
Agora impomos
Daí
, logo
.
Passo 5
A solução implícita é dada por
onde
é constante de integração.
Opcionalmente, podemos isolar :
Opcionalmente, podemos isolar
Resposta
ou equivalentemente