Exercício 1: Resolva cada EDO, problema de valor inicial ou de contorno.
d yd x=-2 x y^3+13 x^2 y^2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
dydx = -2x,y^3 + 13x^2y^2
Isso se enquadra em uma equação exata ou passível de ficar exata após manipulação. Nosso plano é reescrever no formato
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
verificar se partial M/partial y = partial N/partial x e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial psi(x,y) tal que dpsi=0.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por dx e reorganizamos:
dydx = -2x,y^3 + 13x^2y^2 Longrightarrow 3x^2y^2,dy + l(2x,y^3+1r),dx = 0
Logo, identificamos
M(x,y) = 2x,y^3 + 1, N(x,y) = 3x^2y^2

Passo 3

Verificamos a exatidão conferindo
partial Mpartial y = 6x,y^2, partial Npartial x = 6x,y^2
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M(x,y) e partial psipartial y = N(x,y)
Integramos M em relação a x:
psi(x,y) = integrall(2x,y^3+1r),dx = x^2y^3 + x + h(y),
onde h(y) é função desconhecida de y.
Agora impomos partialpsi/partial y = N:
partialpartial yl(x^2y^3+x+h(y)r) = 3x^2y^2 + h'(y) stackrel!= 3x^2y^2
Daí h'(y)=0, logo h(y)=constante.

Passo 5

A solução implícita é dada por
psi(x,y) = x^2y^3 + x = C,
onde C é constante de integração.
Opcionalmente, podemos isolar y:
y^3 = C - xx^2 Longrightarrow y = l(C - xx^2r)^!1/3

Resposta

x^2y^3 + x = C,
ou equivalentemente
y = l((C - x)/x^2r)^1/3

Exercícios relacionados