Exercício 1: Resolva cada EDO, problema de valor inicial ou de contorno.
2 t u=-t^2 d ud t+cos t, u(pi)=0.

Passo 1

O enunciado dá uma EDO de primeira ordem com condição inicial:
Temos
2t,u=-t^2dudt+cos t,
com u(pi)=0. O conteúdo é «EDO linear de primeira ordem» e vamos precisar do fator integrante para resolver.

Passo 2

Vamos primeiro escrever a EDO em forma padrão u'+p(t)u=q(t). Começamos isolando du/dt:
t^2dudt+2t,u=cos t
Dividindo tudo por t^2 (assumindo tneq0) obtemos
dudt+2tu=cos tt^2

Passo 3

Para EDO linear, o fator integrante é
mu(t)=e^integral 2tdt=e^2ln t=t^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(t)=t^2. Isso torna o lado esquerdo a derivada do produto:
ddtl(t^2ur)=cos t

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
t^2u=integral cos t,dt=sin t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Agora aplicamos a condição inicial u(pi)=0:
pi^2cdot 0=sin(pi)+CRightarrow C=0

Passo 7

Portanto a solução geral que satisfaz a condição inicial é
u(t)=sin tt^2

Resposta

u(t)=\frac{\sin t}{t^{2}}

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