Exercício 1: Resolva cada EDO, problema de valor inicial ou de contorno.
y^prime prime-2 y^prime=3 y, y(1)=3 e y^prime(1)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 2ª ordem homogêneas com condições iniciais
Vamos precisar reescrever a equação no formato padrão, montar a equação característica, achar raízes, formar a solução geral e aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a EDO
A equação dada é
y'' - 2y' = 3y
Para usar o método de coeficientes constantes, trazemos todos os termos para um lado
y'' - 2y' - 3y = 0

Passo 3

Agora montamos a equação característica substituindo ymapsto e^rx:
r^2 - 2r - 3 = 0
Resolvendo:
r^2 - 2r - 3 = (r - 3)(r + 1) = 0
Logo r = 3 ou r = -1.

Passo 4

Com as raízes reais distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^3x + C2 e^-x

Passo 5

Calculamos a derivada para usar a condição em y':
y'(x) = 3C1 e^3x - C2 e^-x

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais em x = 1:
  1. y(1)=3
C1 e^3 + C2 e^-1 = 3
  1. y'(1)=1
3C1 e^3 - C2 e^-1 = 1

Passo 7

Resolvendo o sistema para C1 e C2:
Somando as duas equações:
4C1 e^3 = 4 implies C1 = e^-3
Substituindo em C1 e^3 + C2 e^-1 = 3:
1 + C2 e^-1 = 3 implies C2 e^-1 = 2 implies C2 = 2e

Passo 8

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos
y(x) = e^-3 e^3x + 2e , e^-x = e^3(x-1) + 2e^1-x

Resposta

y(x) = e^{3(x-1)} + 2e^{1-x}

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