Exercício 1: Resolva cada EDO, problema de valor inicial ou de contorno.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 2ª ordem homogêneas com condições iniciais
Vamos precisar reescrever a equação no formato padrão, montar a equação característica, achar raízes, formar a solução geral e aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro reescrevemos a EDO
A equação dada é
Para usar o método de coeficientes constantes, trazemos todos os termos para um lado
Passo 3
Agora montamos a equação característica substituindo
:
Resolvendo:
Logo
ou
.
Passo 4
Com as raízes reais distintas, a solução geral da EDO é
Passo 5
Calculamos a derivada para usar a condição em
:
Passo 6
Aplicamos as condições iniciais em
:
-
dá
-
dá
Passo 7
Resolvendo o sistema para
e
:
Somando as duas equações:
Substituindo em
:
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral, obtemos
Resposta
y(x) = e^{3(x-1)} + 2e^{1-x}