Exercício 1: Resolva cada EDO, problema de valor inicial ou de contorno.
y^prime prime+y4=0

Passo 1

Aqui temos a EDO de segunda ordem e homogênea com coeficientes constantes: y’’ + \tfrac{y}{4} = 0. Para resolver, vamos usar o método da equação característica, que consiste em assumir uma solução do tipo y = e^{r x} e encontrar os valores de r.

Passo 2

Assumimos y = e^{r x}. Então y’ = r e^{r x} e y’’ = r^2 e^{r x}. Substituindo na EDO, obtemos a equação característica:

Passo 3

r^2 + tfrac14 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação característica, temos r^2 = -\tfrac{1}{4}, logo

Passo 5

r = pm i,tfrac12

Passo 6

Como as raízes são complexas conjugadas r = 0 \pm i,\tfrac{1}{2}, a solução geral real fica

Passo 7

y(x) = C1 cosl(tfracx2r) + C2 sinl(tfracx2r)

Resposta

y(x) = C_1 \cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C_2 \sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)

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