Exercício 1: Resolva cada EDO, problema de valor inicial ou de contorno.
yx+6 x+y^prime(-2+ln x)=0, x>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem yx +6x + y'(-2+ln x)=0, com x>0. O conteúdo principal é EDO linear de 1ª ordem, e vamos usar o fator integrante para obter a solução geral.

Passo 2

Precisamos escrever a equação no formato padrão y' + p(x),y = q(x). Começando de
yx +6x + y'(-2+ln x)=0
isolamos y' dividindo por ln x -2:
y' + 1/xln x -2,y = -6xln x -2

Passo 3

Identificamos então
p(x) = 1x(ln x -2), q(x) = -6xln x -2
Por teoria de EDOs lineares, o fator integrante é
mu(x) = e^integral p(x),dx

Passo 4

Calculamos o fator integrante usando a substituição u = ln x -2, logo du = dx/x:
integral p(x),dx = integral 1x(ln x -2),dx = integral 1u,du = ln|u| = ln|ln x -2|
Podemos tomar
mu(x) = ln x -2,
ignorando a constante de sinal, já que basta um fator integrante.

Passo 5

Multiplicamos a EDO padrão por mu(x). O lado esquerdo vira derivada do produto:
mu(x),y' + mu(x)p(x),y = ddxl[(ln x -2)yr],
e o lado direito fica
mu(x),q(x) = (ln x -2)l(-6xln x -2r) = -6x
Logo
ddxl[(ln x -2)yr] = -6x

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
(ln x -2)y = integral -6x,dx = -3x^2 + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 7

Finalmente, isolamos y:
y(x) = -3x^2 + Cln x -2 = C - 3x^2ln x -2

Resposta

y(x) = \frac{C - 3x^2}{\ln x -2}.

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