Exercício 1: Resolva cada EDO, problema de valor inicial ou de contorno.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
, com
. O conteúdo principal é EDO linear de 1ª ordem, e vamos usar o fator integrante para obter a solução geral.
Passo 2
Precisamos escrever a equação no formato padrão
. Começando de
isolamos
dividindo por
:
Passo 3
Identificamos então
Por teoria de EDOs lineares, o fator integrante é
Passo 4
Calculamos o fator integrante usando a substituição
, logo
:
Podemos tomar
ignorando a constante de sinal, já que basta um fator integrante.
Passo 5
Multiplicamos a EDO padrão por
. O lado esquerdo vira derivada do produto:
e o lado direito fica
Logo
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante arbitrária.
Passo 7
Finalmente, isolamos
:
Resposta
y(x) = \frac{C - 3x^2}{\ln x -2}.