Exercício 1: Resolva cada EDO, problema de valor inicial ou de contorno.
x e^-y sen x-y d yd x=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial de primeira ordem x e^-y sin x - y dydx = 0. Vamos resolver por separação de variáveis.

Passo 2

Isolamos dydx e separamos as variáveis. A partir de x e^-y sin x = y dydx, temos dydx = x e^-y sin xy, o que leva a e^y y,dy = x sin x,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados na forma separada: integral y e^y,dy = integral x sin x,dx.

Passo 4

Calculamos as integrais: usando partes em integral y e^y,dy obtemos (y-1)e^y; e em integral x sin x,dx obtemos -xcos x + sin x.

Passo 5

Igualamos os resultados e introduzimos a constante de integração C, chegando à solução implícita (y-1)e^y = -xcos x + sin x + C.

Passo 6

Reorganizando, podemos escrever de forma conveniente como (y-1)e^y + xcos x - sin x = C.

Resposta

(y-1)e^y + x\cos x - \sin x = C

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