Uma família de parábolas tem equação y=ax^2+bx+8. Sabendo que uma delas passa pelos pontos (1,3) e (3,-1), determinar:
a) os pontos de interseção com o eixo dos x ;
b) os pontos de ordenada 15 ;
c) equações paramétricas desta parábola.

Passo 1

Resumindo, temos a família de parábolas
y = a x^2 + b x + 8
e sabemos que uma delas passa por (1,3) e (3,-1). O conteúdo é determinação de coeficientes por sistema linear e depois exploração da parábola: interseções com o eixo x, pontos de dada ordenada e forma paramétrica.

Passo 2

Substituímos os pontos em y = a x^2 + b x + 8 para formar um sistema em a,b:
Para (1,3):
acdot1^2 + bcdot1 + 8 = 3 Longrightarrow a + b = -5
Para (3,-1):
acdot3^2 + bcdot3 + 8 = -1 Longrightarrow 9a + 3b = -9 Longrightarrow 3a + b = -3
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(3a+b)-(a+b)= -3 - (-5) Longrightarrow 2a = 2 Longrightarrow a = 1
Logo b = -5 - a = -6 e a parábola é
y = x^2 - 6x + 8

Passo 3

Para achar os pontos de interseção com o eixo x, fazemos y=0:
x^2 - 6x + 8 = 0
Essa é uma quadrática fatorável:
x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)=0 Longrightarrow x = 2,;4
Portanto os pontos são (2,0) e (4,0).

Passo 4

Para encontrar os pontos cuja ordenada vale 15, fazemos
x^2 - 6x + 8 = 15 Longrightarrow x^2 -6x -7 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
De<a = (-6)^2 - 4cdot1cdot(-7) = 36 + 28 = 64,
x = 6 pm raiz642 = 6 pm 82 Longrightarrow x = 7 ou x = -1
Logo os pontos são (-1,15) e (7,15).

Passo 5

Uma forma direta de escrever as equações paramétricas é usar
Como alternativa, em torno do vértice ((3,-1)], podemos usar

Resposta

a) (2,0) e (4,0)
b) (-1,15) e (7,15)
c) Por exemplo,
x = t, y = t^2 - 6t + 8, tinR

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