Exercício 1: Resolva cada EDO, problema de valor inicial ou de contorno.
y=-y^prime prime, y(0)=1 e y(pi)=0.

Passo 1

Temos a EDO y=-y'', que pode ser reescrita na forma padrão de uma equação homogênea de segunda ordem: queremos resolver y''+y=0 com condições de contorno y(0)=1 e y(pi)=0.

Passo 2

Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes, escrevemos a equação característica associada:

Passo 3

r^2+1=0

Passo 4

Resolvendo r^2+1=0 obtemos as raízes r=pm i. Com isso, a solução geral é da forma

Passo 5

y(x)=Acos x + Bsin x

Passo 6

Aplicamos a condição y(0)=1:

Passo 7

y(0)=Acos0+Bsin0 = A = 1,

Passo 8

logo A=1.

Passo 9

Agora aplicamos y(pi)=0:

Passo 10

y(pi)=1cdotcospi + Bsinpi = -1 + 0 = -1,

Passo 11

o que exigiria -1=0, uma contradição. Portanto não há escolha de B que satisfaça ambas as condições.

Resposta

O problema de contorno não admite solução.

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