Exercício 1: Resolva cada EDO, problema de valor inicial ou de contorno.
y y^prime raiz1+y^2=t e^t

Passo 1

O exercício pede para resolver a EDO y,y'raiz1+y^2=t e^t. É uma equação de primeira ordem do tipo separável: conseguimos isolar as y de um lado e os t do outro.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que y' é dfracdydt. Então a equação vira
yraiz1+y^2,dydt=t e^t

Passo 3

Agora separamos as variáveis colocando tudo em y num lado e tudo em t no outro:
yraiz1+y^2,dy = t e^t ,dt

Passo 4

Vamos integrar cada lado. Para o lado em y, fazemos a substituição u=1+y^2, logo du=2y,dy e y,dy=du/2. Assim:
integral yraiz1+y^2,dy = integral raizu2,du = 12 cdot u^3/23/2 = (1+y^2)^3/23

Passo 5

Para o lado em t, usamos integração por partes em integral t e^t dt. Seja u=t e dv=e^t dt, então du=dt e v=e^t. Temos:
integral t e^t dt = t e^t - integral e^t dt = t e^t - e^t = e^t(t-1)

Passo 6

Igualando as duas integrais e incluindo a constante de integração C:
(1+y^2)^3/23 = e^t(t-1) + C

Passo 7

Multiplicando tudo por 3 para simplificar, obtemos a solução implícita geral:
(1+y^2)^3/2 = 3e^t(t-1) + C1,
onde C1=3C é outra constante arbitrária.

Passo 8

Podemos ainda escrever de forma explícita:
y^2 = l(3e^t(t-1) + C1r)^2/3 - 1

Resposta

Solução geral implícita: (1+y^2)^3/2 = 3e^t(t-1) + C1, ou explicitamente y^2 = [3e^t(t-1)+C1]^2/3 -1.

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