Exercício 1: Resolva cada EDO, problema de valor inicial ou de contorno.
Passo 1
O exercício pede para resolver a EDO
. É uma equação de primeira ordem do tipo separável: conseguimos isolar as
de um lado e os
do outro.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que
é
. Então a equação vira
Passo 3
Agora separamos as variáveis colocando tudo em
num lado e tudo em
no outro:
Passo 4
Vamos integrar cada lado. Para o lado em
, fazemos a substituição
, logo
e
. Assim:
Passo 5
Para o lado em
, usamos integração por partes em
. Seja
e
, então
e
. Temos:
Passo 6
Igualando as duas integrais e incluindo a constante de integração
:
Passo 7
Multiplicando tudo por 3 para simplificar, obtemos a solução implícita geral:
onde
é outra constante arbitrária.
Passo 8
Podemos ainda escrever de forma explícita:
Resposta
Solução geral implícita:
, ou explicitamente
.