Exercício 7. Resolva cada um dos sistemas por eliminação de Gauss.
w+2 x-y & =4 x-y & =3 w+3 x-2 y & =7 2 u+4 v+w+7 x & =7

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
w + 2x - y = 4, x - y = 3, w + 3x - 2y = 7, 2u + 4v + w + 7x = 7
pelos métodos de eliminação de Gauss. Os incógnitas são u,v,w,x,y. Vamos montar a matriz aumentada e levar a forma escalonada.

Passo 2

A matriz aumentada é
[ccccc|c 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 4 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 3 0 & 0 & 1 & 3 & -2 & 7 2 & 4 & 1 & 7 & 0 & 7 ]
Escolhemos como primeiro pivô o elemento a13=1 (linha 1, coluna 3). Eliminamos nas linhas 3 e 4:
linha 3 linha 3 - linha 1,
linha 4 linha 4 - linha 1.
Obtemos
[ccccc|c 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 4 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 3 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 3 2 & 4 & 0 & 5 & 1 & 3 ]
Agora usamos o pivô a24=1 (linha 2, coluna 4) para zerar abaixo:
linha 3 linha 3 - linha 2,
linha 4 linha 4 -5!times!linha 2.
Isso dá
[ccccc|c 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 4 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 3 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 2 & 4 & 0 & 0 & 6 & -12 ]
Por fim, trocamos as linhas 2 e 4 para ter os pivôs em ordem descendente de colunas:
[ccccc|c 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & 4 2 & 4 & 0 & 0 & 6 & -12 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 3 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 3

Agora interpretamos cada linha escalonada:
linha 1: w + 2x - y = 4,
linha 2: 2u + 4v + 6y = -12,
linha 3: x - y = 3.
A linha 4 é 0=0 e não impõe condição adicional.

Passo 4

Escolhemos v e y como variáveis livres. Da linha 3 vem
x = 3 + y
Da linha 1 vem
w = 4 - 2x + y = 4 - 2(3+y) + y = -2 - y
Da linha 2, dividindo por 2,
u + 2v + 3y = -6 Longrightarrow u = -6 - 2v - 3y

Resposta

A solução geral em função dos parâmetros v e y é
(u,v,w,x,y) = l(-6 - 2v - 3y,;v,;-2 - y,;3 + y,;yr), v,yinR

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