Exercício 7. Resolva cada um dos sistemas por eliminação de Gauss.
2 x+y+z & =25 x+3 y+2 z & =-11 3 y+5 x+4 z & =-5

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
2x + y + z = 25, x + 3y + 2z = -11, 5x + 3y + 4z = -5
usando eliminação de Gauss. A ideia é escrever a matriz ampliada, fazer operações de linha para zerar abaixo dos pivôs (triangularizar) e depois usar retro-substituição para encontrar x, y e z.

Passo 2

Como a segunda equação já tem coeficiente 1 em x, vamos trocar linha 1 com linha 2 para facilitar o pivô:
[ccc|c 1 & 3 & 2 & -11 2 & 1 & 1 & 25 5 & 3 & 4 & -5 ]

Passo 3

Agora zeramos as entradas abaixo de 1 na coluna de x:
  • L2 L2 - 2L1
  • L3 L3 - 5L1
    Isso dá
[ccc|c 1 & 3 & 2 & -11 0 & -5 & -3 & 47 0 & -12 & -6 & 50 ]

Passo 4

Temos um sub-sistema em y,z. Para zerar o -12 em L3, fazemos
L3 L3 - tfrac125L2,
já que L2 tem coeficiente -5 em y. Isso leva a
[ccc|c 1 & 3 & 2 & -11 0 & -5 & -3 & 47 0 & 0 & tfrac65 & -tfrac3145 ]
Da terceira linha fica
tfrac65,z = -tfrac3145 Longrightarrow z = -tfrac3145cdottfrac56 = -tfrac1573

Passo 5

Agora fazemos retro-substituição:
  • Segunda linha:
-5y -3z = 47 Longrightarrow -5y -3!l(-tfrac1573r) = 47 ;Longrightarrow; -5y +157 = 47 ;Longrightarrow; y = 22
  • Primeira linha:
x + 3y + 2z = -11 Longrightarrow x + 3cdot22 + 2!l(-tfrac1573r) = -11 ;Longrightarrow; x + 66 - tfrac3143 = -11
Como 66 = tfrac1983,
x + tfrac1983 - tfrac3143 = -11 ;Longrightarrow; x - tfrac1163 = -11 ;Longrightarrow; x = -11 + tfrac1163 = tfrac833

Resposta

x = tfrac833, y = 22, z = -tfrac1573

Exercícios relacionados