Exercício 7. Resolva cada um dos sistemas por eliminação de Gauss.
l2 x+3 y+4 z=53 3 x+5 y-4 z=2 4 x+7 y-2 z=31

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
2x + 3y + 4z = 53, 3x + 5y - 4z = 2, 4x + 7y - 2z = 31,
e pede para resolver por eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada, usar operações elementares de linha para triangular a matriz e depois fazer retrosubstituição.

Passo 2

Matriz aumentada inicial:
[ccc|c 2 & 3 & 4 & 53 3 & 5 & -4 & 2 4 & 7 & -2 & 31 ]
Eliminamos x em L2 e L3 usando L2 L2 - tfrac32,L1 e L3 L3 - 2,L1:
[ccc|c 2 & 3 & 4 & 53 0 & tfrac12 & -10 & -tfrac1552 0 & 1 & -10 & -75 ]

Passo 3

Para ter pivô unitário em L2, fazemos L2 2,L2, obtendo
[ccc|c 2 & 3 & 4 & 53 0 & 1 & -20 & -155 0 & 1 & -10 & -75 ]
Em seguida eliminamos y em L3 por L3 L3 - L2, ficando
[ccc|c 2 & 3 & 4 & 53 0 & 1 & -20 & -155 0 & 0 & 10 & 80 ]

Passo 4

Da terceira linha temos
10z = 80
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z = 8

Passo 5

Substituindo z=8 na segunda linha y - 20z = -155, obtemos
y - 20cdot 8 = -155 Longrightarrow y = -155 + 160 = 5
Por fim, na primeira linha 2x + 3y + 4z = 53:
2x + 3cdot 5 + 4cdot 8 = 53 Longrightarrow 2x + 15 + 32 = 53 Longrightarrow 2x = 6 Longrightarrow x = 3

Resposta

(x,y,z) = (3,,5,,8).

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