Exercício 0.8 Resolva as equações abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede: encontrar todos os valores de
que satisfazem essa igualdade. Informações importantes dadas implicitamente:
- A expressão
significa . - O
deve pertencer ao domínio dos logaritmos, ou seja . - A base do logaritmo não foi especificada; vou chamar essa base de
, com e . A solução pode ser expressa em termos de .
Passo 2
Breve revisão do que é
(aula rápida e prática).
- Definição:
é o número tal que . - Domínio:
só está definido para . - Propriedade usada para resolver: muitas equações em que aparece
ficam mais fáceis se fizermos uma substituição que transforme a equação em um polinômio. Vou fazer isso agora.
Passo 3
Faça a substituição
Então
e a equação fica
Agora é um polinômio simples em
. Vamos reorganizar:
Passo 4
Fatorar o polinômio (passo a passo):
Repare que
é diferença de quadrados, então
Portanto as raízes são as que anulam cada fator:
Passo 5
Voltar à variável
usando
. Para cada
:
- Se
, então . Como , obtemos
- Se
, então . Isso significa , portanto
- Se
, então . Isso significa , ou seja
Todas essas soluções satisfazem
, então são válidas para qualquer base
,
.
Passo 6
Verificação rápida (substituir de volta na equação original):
- Para
: ⇒ . - Para
: e ⇒ ok. - Para
: e ⇒ ok.
Tudo conferido.