Exercício 0.8 Resolva as equações abaixo.
\log ^{3} x=4 \log x

Passo 1

O enunciado dá a equação
\log^{3} x = 4\log x
e pede: encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade. Informações importantes dadas implicitamente:
  • A expressão \log^{3} x significa (\log x)^3.
  • O x deve pertencer ao domínio dos logaritmos, ou seja x>0.
  • A base do logaritmo não foi especificada; vou chamar essa base de b, com b>0 e b\neq1. A solução pode ser expressa em termos de b.

Passo 2

Breve revisão do que é \log_b x (aula rápida e prática).
  • Definição: \log_b x é o número y tal que b^{y}=x.
  • Domínio: \log_b x só está definido para x>0.
  • Propriedade usada para resolver: muitas equações em que aparece \log_b x ficam mais fáceis se fizermos uma substituição que transforme a equação em um polinômio. Vou fazer isso agora.

Passo 3

Faça a substituição
y=\log_b x.
Então \log^{3} x=(\log_b x)^3=y^3 e a equação fica
y^3 = 4y.
Agora é um polinômio simples em y. Vamos reorganizar:
y^3 - 4y = 0.

Passo 4

Fatorar o polinômio (passo a passo):
y^3 - 4y = y(y^2-4).
Repare que y^2-4 é diferença de quadrados, então
y(y^2-4)=y(y-2)(y+2).
Portanto as raízes são as que anulam cada fator:
y=0,\qquad y=2,\qquad y=-2.

Passo 5

Voltar à variável x usando y=\log_b x. Para cada y:
  • Se y=0, então \log_b x=0. Como b^{0}=1, obtemos
x=1.
  • Se y=2, então \log_b x=2. Isso significa b^{2}=x, portanto
x=b^{2}.
  • Se y=-2, então \log_b x=-2. Isso significa b^{-2}=x, ou seja
x=b^{-2}=\frac{1}{b^{2}}.
Todas essas soluções satisfazem x>0, então são válidas para qualquer base b>0, b\neq1.

Passo 6

Verificação rápida (substituir de volta na equação original):
  • Para \log_b x=0: (0)^3 = 4\cdot 0 0=0.
  • Para \log_b x=2: 2^3=8 e 4\cdot 2=8 ⇒ ok.
  • Para \log_b x=-2: (-2)^3=-8 e 4\cdot(-2)=-8 ⇒ ok.
    Tudo conferido.

Resposta

x=1
x=b^{2}
x=b^{-2}=\dfrac{1}{b^{2}}

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