Exercício 0.8 Resolva as equações abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações e restrições que o enunciado dá (ou que precisamos impor para que a expressão faça sentido):
- A incógnita é
. - Para que
exista é necessário que a base satisfaça e . - O argumento do logaritmo
deve ser positivo: . Isso ocorre para todo exceto . Logo . - Portanto o domínio possível é
com e .
O objetivo é encontrar todos osnesse domínio que satisfazem a equação.
Passo 2
Vamos recordar uma propriedade básica e superútil dos logaritmos/exponenciais: se
,
e
, então vale
Explicação didática dessa propriedade: escrever
significa, por definição de logaritmo, que
. Se agora elevamos
à potência
, estamos calculando
, que por definição é exatamente
. Por isso a identidade é verdadeira — e atenção, ela só vale quando a base
é positiva diferente de
e o argumento
é positivo.
Passo 3
Aplicando essa propriedade ao nosso problema: aqui a base é
(lembre que já exigimos
e
) e o argumento é
(que é positivo para
). Portanto podemos simplificar o lado esquerdo da equação:
Assim a equação original fica equivalente a
Passo 4
Resolver a equação quadrática
. Tirando raiz quadrada dos dois lados (lembrando de considerar os dois sinais),
Isso gera duas possibilidades:
-
. -
.
Passo 5
Verificação das soluções quanto ao domínio e checagem rápida na equação original:
- Para
: a base é e ; . Aplicando a identidade, o lado esquerdo vale , que coincide com o lado direito. Portanto é solução válida. - Para
: a base é e ; . Novamente o lado esquerdo vale . Portanto é solução válida.
Ambas satisfazem as restrições, e .