Exercício 0.8 Resolva as equações abaixo.
x^{\log _{x}(x-5)^{2}}=9

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x^{\log_{x}(x-5)^{2}}=9.
Informações e restrições que o enunciado dá (ou que precisamos impor para que a expressão faça sentido):
  • A incógnita é x.
  • Para que \log_{x}(x-5)^{2} exista é necessário que a base x satisfaça x>0 e x\neq1.
  • O argumento do logaritmo (x-5)^{2} deve ser positivo: (x-5)^{2}>0. Isso ocorre para todo x exceto x=5. Logo x\neq5.
  • Portanto o domínio possível é x>0 com x\neq1 e x\neq5.
    O objetivo é encontrar todos os x nesse domínio que satisfazem a equação.

Passo 2

Vamos recordar uma propriedade básica e superútil dos logaritmos/exponenciais: se a>0, a\neq1 e b>0, então vale
a^{\log_{a} b}=b.
Explicação didática dessa propriedade: escrever \log_{a} b=c significa, por definição de logaritmo, que a^{c}=b. Se agora elevamos a à potência \log_{a} b, estamos calculando a^{c}, que por definição é exatamente b. Por isso a identidade é verdadeira — e atenção, ela só vale quando a base a é positiva diferente de 1 e o argumento b é positivo.

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao nosso problema: aqui a base é x (lembre que já exigimos x>0 e x\neq1) e o argumento é (x-5)^{2} (que é positivo para x\neq5). Portanto podemos simplificar o lado esquerdo da equação:
x^{\log_{x}(x-5)^{2}}=(x-5)^{2}.
Assim a equação original fica equivalente a
(x-5)^{2}=9.

Passo 4

Resolver a equação quadrática (x-5)^{2}=9. Tirando raiz quadrada dos dois lados (lembrando de considerar os dois sinais),
x-5=\pm 3.
Isso gera duas possibilidades:
  1. x-5=3\Rightarrow x=8.
  2. x-5=-3\Rightarrow x=2.

Passo 5

Verificação das soluções quanto ao domínio e checagem rápida na equação original:
  • Para x=8: a base 8 é >0 e \neq1; (8-5)^{2}=3^{2}=9>0. Aplicando a identidade, o lado esquerdo vale 9, que coincide com o lado direito. Portanto x=8 é solução válida.
  • Para x=2: a base 2 é >0 e \neq1; (2-5)^{2}=(-3)^{2}=9>0. Novamente o lado esquerdo vale 9. Portanto x=2 é solução válida.
    Ambas satisfazem as restrições x>0, x\neq1 e x\neq5.

Resposta

x=2
x=8

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