Exercício 9 Resolva as equações:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada por
Informações dadas e o que se pede:
- A incógnita é a função
. - A equação relaciona
(derivada de em relação a ) com e . - O objetivo é encontrar a solução geral
que satisfaça essa igualdade para em algum intervalo onde tudo faça sentido.
Passo 2
Primeiro vou escrever a equação de uma forma mais clara para manipular: isolo
dividindo por
(note que
para todo
, então essa divisão é segura):
Agora observo que a equação está numa forma em que podemos separar as variáveis: o lado direito é um produto de uma função de
(
) por
. Vou usar separação de variáveis: colocar tudo com
num lado e tudo com
no outro.
Passo 3
Faço a separação de variáveis multiplicando ambos os lados por
(assumindo provisoriamente
; o caso
será tratado depois):
Explicação didática: separar variáveis significa escrever a diferencial de forma que um lado dependa só de
e o outro só de
, para então integrar cada lado independentemente.
Passo 4
Integro ambos os lados. Do lado esquerdo:
onde
é constante de integração. Do lado direito preciso calcular
Para essa integral uso a substituição
. Então
, isto é,
. Assim
Voltando a
, isso dá
pois
então podemos evitar as barras de valor absoluto em
. Juntando as duas integrais e absorvendo constantes, obtenho:
onde
é uma constante (diferença entre
e
).
Passo 5
Agora exponencio ambos os lados para tirar o logaritmo. Lembre que
e
. Assim
Defino a constante arbitrária
. Então
, o que significa que
. Podemos agrupar o sinal e
numa constante real arbitrária
(agora
), obtendo a solução geral
onde
é uma constante real qualquer.
Observação sobre o caso
: ele corresponde à constante
, então já está incluído na família de soluções acima.
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): calcule
para a solução proposta
. Usando regra da cadeia,
Multiplicando por
e subtraindo
obtemos
logo a expressão satisfaz a equação original.