Exercício 9 Resolva as equações:
\left(1+x^{2}\right) y^{\prime}-x y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada por
(1+x^{2})\,y' - x\,y = 0.
Informações dadas e o que se pede:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A equação relaciona y' (derivada de y em relação a x) com y e x.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa igualdade para x em algum intervalo onde tudo faça sentido.

Passo 2

Primeiro vou escrever a equação de uma forma mais clara para manipular: isolo y' dividindo por 1+x^{2} (note que 1+x^{2}>0 para todo x, então essa divisão é segura):
y'=\frac{x}{1+x^{2}}\,y.
Agora observo que a equação está numa forma em que podemos separar as variáveis: o lado direito é um produto de uma função de x ( \dfrac{x}{1+x^{2}}) por y. Vou usar separação de variáveis: colocar tudo com y num lado e tudo com x no outro.

Passo 3

Faço a separação de variáveis multiplicando ambos os lados por \dfrac{1}{y}\,dx (assumindo provisoriamente y\neq0; o caso y\equiv0 será tratado depois):
\frac{dy}{y}=\frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
Explicação didática: separar variáveis significa escrever a diferencial de forma que um lado dependa só de y e o outro só de x, para então integrar cada lado independentemente.

Passo 4

Integro ambos os lados. Do lado esquerdo:
\int \frac{dy}{y}=\ln|y| + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Do lado direito preciso calcular
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
Para essa integral uso a substituição u=1+x^{2}. Então du=2x\,dx, isto é, x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du. Assim
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx=\int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}\ln|u| + C_{2}.
Voltando a x, isso dá
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) + C_{2},
pois 1+x^{2}>0 então podemos evitar as barras de valor absoluto em 1+x^{2}. Juntando as duas integrais e absorvendo constantes, obtenho:
\ln|y|=\frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) + C,
onde C é uma constante (diferença entre C_{2} e C_{1}).

Passo 5

Agora exponencio ambos os lados para tirar o logaritmo. Lembre que e^{\ln|y|}=|y| e e^{\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})}=(1+x^{2})^{1/2}. Assim
|y| = e^{C}\,(1+x^{2})^{1/2}.
Defino a constante arbitrária A=e^{C}>0. Então |y|=A(1+x^{2})^{1/2}, o que significa que y=\pm A(1+x^{2})^{1/2}. Podemos agrupar o sinal e A numa constante real arbitrária C (agora C\in\mathbb{R}), obtendo a solução geral
y(x)=C\,(1+x^{2})^{1/2},
onde C é uma constante real qualquer.
Observação sobre o caso y\equiv0: ele corresponde à constante C=0, então já está incluído na família de soluções acima.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): calcule y' para a solução proposta y=C(1+x^{2})^{1/2}. Usando regra da cadeia,
y' = C\cdot\frac{1}{2}(1+x^{2})^{-1/2}\cdot 2x = C\frac{x}{(1+x^{2})^{1/2}}.
Multiplicando por 1+x^{2} e subtraindo x y obtemos
(1+x^{2})y' - x y = (1+x^{2})\cdot C\frac{x}{(1+x^{2})^{1/2}} - x\cdot C(1+x^{2})^{1/2} = Cx(1+x^{2})^{1/2}-Cx(1+x^{2})^{1/2}=0,
logo a expressão satisfaz a equação original.

Resposta

y(x)=C\,(1+x^{2})^{1/2},\quad C\in\mathbb{R}

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