Exercício 0.7 Resolva as inequações em
abaixo
Passo 1
O enunciado pede resolver, em
, a inequação
Informações relevantes dadas:
- A expressão envolve potências de base
. -
é um número explícito (podemos simplificar). - Há restrições de domínio vindas dos denominadores das frações nos expoentes:
e . - O objetivo é encontrar todos os
(exceto os valores proibidos) que satisfazem a inequação acima.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a parte direita. Como
, temos
Agora simplificamos a fração de potências à esquerda usando a propriedade
válida porque a base
é positiva e diferente de
. Aplicando com
e
, a inequação torna-se
Passo 3
Calculemos a diferença dos expoentes:
Colocamos em denominador comum
:
Expandindo:
Logo o expoente simplifica para
com as restrições já mencionadas
.
Passo 4
Como a base
é maior que
, a função
é estritamente crescente. Portanto a inequação
é equivalente à inequação entre os expoentes:
mantendo a mesma restrição
. Essa passagem é válida sempre que a base da exponencial é
.
Passo 5
Vamos resolver a inequação racional
Passamos tudo para o mesmo lado:
Colocando em denominador comum
:
Calcule o numerador:
Para fatorar, colocamos com sinal padrão:
A equação
tem discriminante
logo
e as raízes são
Isso dá
e
. Assim a fatoração é
Portanto a expressão que testamos é
com pontos críticos (zeros ou indefinições) em
.
Passo 6
Agora fazemos um estudo de sinal. Os pontos críticos ordenados são
Testamos um valor em cada intervalo:
-
Para
(ex.: ): -
, ⇒ ; com o sinal negativo à frente o numerador é . -
no denominador (pois ambos negativos) ⇒ denominador . - Resultado: fracção
. Intervalo satisfaz.
-
-
Para
(ex.: ): -
, ⇒ , numerador (pelo sinal externo). -
(um fator negativo, outro positivo) ⇒ denominador . - Resultado: fracção
. Intervalo não satisfaz.
-
-
Para
(ex.: ): -
, ⇒ , numerador (negativo do produto). -
⇒ denominador . - Resultado: fracção
. Intervalo satisfaz (note que é excluído).
-
-
Para
(ex.: ): -
, ⇒ , numerador . -
⇒ denominador . - Resultado: fracção
. Intervalo não satisfaz.
-
-
Para
(ex.: ): -
, ⇒ , numerador (pelo sinal externo). - Denominador
. - Resultado: fracção
. Intervalo satisfaz.
-
Também lembramos que os pontos onde a expressão é zero são
e
; a inequação é estrita “
”, logo esses pontos não entram. Os pontos
estão fora do domínio e também não entram.
Passo 7
Juntando os intervalos onde a inequação é satisfeita e respeitando as exclusões
e excluindo os zeros, a solução final é