Exercício 0.7 Resolva as inequações em \mathbb{R} abaixo
7^{\frac{x+1}{x-1}} / 7^{\frac{x-1}{x+1}}<\sqrt{343}

Passo 1

O enunciado pede resolver, em \mathbb{R}, a inequação
\frac{7^{\frac{x+1}{x-1}}}{7^{\frac{x-1}{x+1}}}<\sqrt{343}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão envolve potências de base 7.
  • \sqrt{343} é um número explícito (podemos simplificar).
  • Há restrições de domínio vindas dos denominadores das frações nos expoentes: x\neq 1 e x\neq -1.
  • O objetivo é encontrar todos os x\in\mathbb{R} (exceto os valores proibidos) que satisfazem a inequação acima.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a parte direita. Como 343=7^3, temos
\sqrt{343}=(7^3)^{1/2}=7^{3/2}.
Agora simplificamos a fração de potências à esquerda usando a propriedade
\frac{7^{a}}{7^{b}}=7^{a-b},
válida porque a base 7 é positiva e diferente de 1. Aplicando com a=\dfrac{x+1}{x-1} e b=\dfrac{x-1}{x+1}, a inequação torna-se
7^{\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right)}<7^{3/2}.

Passo 3

Calculemos a diferença dos expoentes:
\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}.
Colocamos em denominador comum (x-1)(x+1)=x^2-1:
\frac{(x+1)(x+1)-(x-1)(x-1)}{x^2-1} =\frac{(x+1)^2-(x-1)^2}{x^2-1}.
Expandindo:
(x+1)^2-(x-1)^2=(x^2+2x+1)-(x^2-2x+1)=4x.
Logo o expoente simplifica para
\frac{4x}{x^2-1},
com as restrições já mencionadas x\neq\pm 1.

Passo 4

Como a base 7 é maior que 1, a função t\mapsto 7^t é estritamente crescente. Portanto a inequação
7^{\frac{4x}{x^2-1}}<7^{3/2}
é equivalente à inequação entre os expoentes:
\frac{4x}{x^2-1}<\frac{3}{2},
mantendo a mesma restrição x\neq\pm 1. Essa passagem é válida sempre que a base da exponencial é >1.

Passo 5

Vamos resolver a inequação racional
\frac{4x}{x^2-1}<\frac{3}{2}.
Passamos tudo para o mesmo lado:
\frac{4x}{x^2-1}-\frac{3}{2}<0.
Colocando em denominador comum 2(x^2-1):
\frac{8x-3(x^2-1)}{2(x^2-1)}<0.
Calcule o numerador:
8x-3(x^2-1)=8x-3x^2+3=-3x^2+8x+3.
Para fatorar, colocamos com sinal padrão:
-3x^2+8x+3=-(3x^2-8x-3).
A equação 3x^2-8x-3=0 tem discriminante
\Delta = (-8)^2-4\cdot 3\cdot(-3)=64+36=100,
logo \sqrt{\Delta}=10 e as raízes são
x=\frac{8\pm 10}{6}.
Isso dá x=3 e x=-\tfrac{1}{3}. Assim a fatoração é
-3x^2+8x+3=-(3x+1)(x-3).
Portanto a expressão que testamos é
\frac{-(3x+1)(x-3)}{2(x-1)(x+1)}<0,
com pontos críticos (zeros ou indefinições) em x=-1,\;x=-\tfrac{1}{3},\;x=1,\;x=3.

Passo 6

Agora fazemos um estudo de sinal. Os pontos críticos ordenados são
-\infty,\; -1,\; -\tfrac{1}{3},\; 1,\; 3,\; +\infty.
Testamos um valor em cada intervalo:
  • Para x<-1 (ex.: x=-2):
    • 3x+1<0, x-3<0 (3x+1)(x-3)>0; com o sinal negativo à frente o numerador é <0.
    • (x-1)(x+1)>0 no denominador (pois ambos negativos) ⇒ denominador >0.
    • Resultado: fracção <0. Intervalo (-\infty,-1) satisfaz.
  • Para -1<x<-\tfrac{1}{3} (ex.: x=-\tfrac{1}{2}):
    • 3x+1<0, x-3<0 (3x+1)(x-3)>0, numerador <0 (pelo sinal externo).
    • (x-1)(x+1)<0 (um fator negativo, outro positivo) ⇒ denominador <0.
    • Resultado: fracção >0. Intervalo não satisfaz.
  • Para -\tfrac{1}{3}<x<1 (ex.: x=0):
    • 3x+1>0, x-3<0 (3x+1)(x-3)<0, numerador >0 (negativo do produto).
    • (x-1)(x+1)<0 ⇒ denominador <0.
    • Resultado: fracção <0. Intervalo (-\tfrac{1}{3},1) satisfaz (note que x=1 é excluído).
  • Para 1<x<3 (ex.: x=2):
    • 3x+1>0, x-3<0 (3x+1)(x-3)<0, numerador >0.
    • (x-1)(x+1)>0 ⇒ denominador >0.
    • Resultado: fracção >0. Intervalo não satisfaz.
  • Para x>3 (ex.: x=4):
    • 3x+1>0, x-3>0 (3x+1)(x-3)>0, numerador <0 (pelo sinal externo).
    • Denominador >0.
    • Resultado: fracção <0. Intervalo (3,\infty) satisfaz.
Também lembramos que os pontos onde a expressão é zero são x=-\tfrac{1}{3} e x=3; a inequação é estrita “ <0”, logo esses pontos não entram. Os pontos x=\pm 1 estão fora do domínio e também não entram.

Passo 7

Juntando os intervalos onde a inequação é satisfeita e respeitando as exclusões x\neq\pm 1 e excluindo os zeros, a solução final é
(-\infty,-1)\cup\left(-\tfrac{1}{3},1\right)\cup(3,\infty).

Resposta

\displaystyle (-\infty,-1)\cup\left(-\tfrac{1}{3},1\right)\cup(3,\infty)

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