Exercício 0.7 Resolva as inequações em \mathbb{R} abaixo
4^{x+1}-2^{2 x+1}+4 x-2^{2 x-1}-4^{x-1} \geq 144

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva, em \mathbb{R}, a inequação
4^{x+1}-2^{2 x+1}+4x-2^{2 x-1}-4^{x-1}\geq 144.
Informações dadas e itens relevantes:
  • A expressão é uma combinação de potências de 2 e 4 e um termo linear em x.
  • O domínio pedido é todo o conjunto dos números reais \mathbb{R}.
  • A incógnita é x e precisamos encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a inequação.
  • Não há outras condições adicionais (por exemplo, restrições de denominador ou raízes pares) no enunciado.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão aproveitando propriedades de potências. Relembre rapidinho as regras que usarei:
  • \;a^{m+n}=a^m\cdot a^n\; (somar expoentes quando se multiplicam potências de mesma base);
  • \;(a^b)^c=a^{bc} e, em particular, \;4^x=(2^2)^x=2^{2x}\;;
  • coeficientes fatoráveis podem ser retirados para somar termos parecidos.
Agora transformo cada termo para expressões envolvendo 2^{2x} (porque 4^x=2^{2x}):
4^{x+1}=4\cdot 4^x=4\cdot 2^{2x},
-2^{2x+1}=-2\cdot 2^{2x},
-2^{2x-1}=-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2x},
-4^{x-1}=-\tfrac{1}{4}\cdot 4^x=-\tfrac{1}{4}\cdot 2^{2x}.
Assim os termos exponenciais todos têm o fator comum 2^{2x}.

Passo 3

Somando os coeficientes dos termos que multiplicam 2^{2x}:
4 - 2 - \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4} = 4-2=2,\quad 2-\tfrac{1}{2}=1{,}5,\quad 1{,}5-\tfrac{1}{4}=1{,}25=\tfrac{5}{4}.
Portanto a inequação fica
\tfrac{5}{4}\,2^{2x}+4x\geq 144.
Para evitar frações, multiplico ambos os lados por 4 (operação válida porque 4>0):
5\cdot 2^{2x} + 16x \geq 576.

Passo 4

É conveniente reescrever 2^{2x} como 4^x, pois 2^{2x}=(2^2)^x=4^x. Defino a função
f(x)=5\cdot 4^{x}+16x-576.
A inequação é equivalente a f(x)\geq 0.
Agora estudo continuidade e monotonicidade de f:
  • A função x\mapsto 4^x é contínua e derivável em \mathbb{R} e sempre positiva.
  • A derivada de a^x é a^x\ln a. Então
f'(x)=5\cdot 4^{x}\ln 4 +16.
Como 4^{x}>0 para todo x e \ln 4>0, segue que 5\cdot 4^{x}\ln 4>0. Assim f'(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}. Conclusão importante: f é estritamente crescente em \mathbb{R}.
Por ser contínua e estritamente crescente, a equação f(x)=0 tem exatamente uma solução real (um único ponto onde a função cruza o eixo). Logo a solução da inequação f(x)\ge 0 é do tipo
x\geq r,
onde r é o único real que satisfaz f(r)=0.

Passo 5

Agora precisamos determinar numericamente esse único r tal que
5\cdot 4^{r}+16r-576=0.
Explico um método simples e prático para a prova: o método de Newton (que usa derivada) é rápido quando a função é suave e a derivada não se anula, como aqui. A fórmula de Newton é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Como f é estritamente crescente e muda de sinal entre x=3 e x=4 (veja: f(3)=5\cdot 4^3+48-576=320+48-576=-208<0, f(4)=5\cdot4^4+64-576=1280+64-576=768>0), começo com x_0=3{,}35 como chute inicial.
Cálculos (vou mostrar passo a passo, sem pular contas):
  • Para x_0=3{,}35: 4^{3{,}35}\approx 103{,}9519\quad(\text{cálculo: }4^{x}=e^{x\ln 4}),á
f(3{,}35)=5\cdot 103{,}9519 +16\cdot 3{,}35 -576 \approx -2{,}6405,
f'(3{,}35)=5\cdot 103{,}9519\ln 4 +16 \approx 736{,}289.
Aplicando Newton:
x_1=3{,}35-\frac{-2{,}6405}{736{,}289}\approx 3{,}3535861.
  • Para x_1=3{,}3535861: 4^{3{,}3535861}\approx 104{,}4683,
f(3{,}3535861)=5\cdot 104{,}4683 +16\cdot 3{,}3535861 -576\approx -0{,}00112,
f'(3{,}3535861)\approx 740{,}042.
Nova iteração:
x_2\approx 3{,}3535876.
A diferença agora é do ordem de 10^{-6}, ou seja, já temos uma aproximação muito precisa. Com mais uma iteração a correção seria insignificante ao nível mostrado.

Passo 6

Portanto o único zero r de f é aproximadamente r\approx 3{,}353588 (arredondando a 6 casas decimais). Como f é crescente, concluímos que a solução da inequação original é
x\geq r.

Resposta

x\geq 3{,}353588

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