Exercício 0.7 Resolva as inequações em
abaixo
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva, em
, a inequação
Informações dadas e itens relevantes:
- A expressão é uma combinação de potências de
e e um termo linear em . - O domínio pedido é todo o conjunto dos números reais
. - A incógnita é
e precisamos encontrar todos os que satisfazem a inequação. - Não há outras condições adicionais (por exemplo, restrições de denominador ou raízes pares) no enunciado.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão aproveitando propriedades de potências. Relembre rapidinho as regras que usarei:
-
(somar expoentes quando se multiplicam potências de mesma base); -
e, em particular, ; - coeficientes fatoráveis podem ser retirados para somar termos parecidos.
Agora transformo cada termo para expressões envolvendo
(porque
):
Assim os termos exponenciais todos têm o fator comum
.
Passo 3
Somando os coeficientes dos termos que multiplicam
:
Portanto a inequação fica
Para evitar frações, multiplico ambos os lados por
(operação válida porque
):
Passo 4
É conveniente reescrever
como
, pois
. Defino a função
A inequação é equivalente a
.
Agora estudo continuidade e monotonicidade de
:
- A função
é contínua e derivável em e sempre positiva. - A derivada de
é . Então
Como
para todo
e
, segue que
. Assim
para todo
. Conclusão importante:
é estritamente crescente em
.
Por ser contínua e estritamente crescente, a equação
tem exatamente uma solução real (um único ponto onde a função cruza o eixo). Logo a solução da inequação
é do tipo
onde
é o único real que satisfaz
.
Passo 5
Agora precisamos determinar numericamente esse único
tal que
Explico um método simples e prático para a prova: o método de Newton (que usa derivada) é rápido quando a função é suave e a derivada não se anula, como aqui. A fórmula de Newton é
Como
é estritamente crescente e muda de sinal entre
e
(veja:
,
), começo com
como chute inicial.
Cálculos (vou mostrar passo a passo, sem pular contas):
- Para
:
Aplicando Newton:
- Para
:
Nova iteração:
A diferença agora é do ordem de
, ou seja, já temos uma aproximação muito precisa. Com mais uma iteração a correção seria insignificante ao nível mostrado.
Passo 6
Portanto o único zero
de
é aproximadamente
(arredondando a
casas decimais). Como
é crescente, concluímos que a solução da inequação original é