Exercício 0.7 Resolva as inequações em
abaixo
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação em
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
é o numerador da fração.
é o denominador da fração.
A expressão é definida somente para valores de em que o denominador não zere, ou seja,
.
A pergunta é: encontrar todos os que tornam a expressão estritamente negativa.
A expressão é definida somente para valores de
A pergunta é: encontrar todos os
Passo 2
Estratégia para resolver: para uma fração
ser negativa,
e
devem ter sinais opostos (um positivo e o outro negativo). Vou analisar separadamente o sinal do numerador
e do denominador
, identificar os pontos críticos onde algum muda de sinal ou fica indefinido, e montar um raciocínio tipo “teste de sinais” para concluir onde a fração é negativa.
Passo 3
Análise do numerador
.
Propriedade importante: para todo
temos
. Isso vem da definição da função exponencial:
nunca é zero nem negativa.
Portanto
Portanto
ou seja,
para todo
. Conclusão: o numerador é sempre positivo (nunca zera e nunca é negativo).
Passo 4
Análise do denominador
.
Primeiro encontramos onde o denominador zera:
Então
são pontos onde a expressão não está definida (devem ser excluídos).
Agora determinamos o sinal de
. Podemos reescrever
Outra forma direta: a desigualdade
é equivalente a
, que por sua vez significa
. Logo:
- Se
(isto é, ), então e . - Se
(isto é, ou ), então e .
Resumo: o denominador é positivo em, negativo em e em , e nulo em .
Passo 5
Combinação dos sinais (teste de sinais).
Já vimos que o numerador é sempre positivo. Portanto a fração
terá o mesmo sinal do denominador: se o denominador for positivo, a fração é positiva; se o denominador for negativo, a fração é negativa.
Pelo Passo 4, o denominador é negativo exatamente quando
, isto é, para
ou
(com exclusão de
, que não pertencem ao domínio). Posso fazer um teste rápido para confirmar:
- Para
(está em ): numerador , denominador ⇒ fração positiva (não interessa). - Para
(está em ): numerador , denominador ⇒ fração negativa (queremos). - Para
(está em ): numerador , denominador ⇒ fração negativa (queremos).
Esses testes confirmam que a desigualdade
ocorre exatamente quando o denominador é negativo, isto é, quando
, excluindo
.
Passo 6
Conclusão final do raciocínio: a solução da inequação é o conjunto dos
reais tais que
ou
, respeitando que
não pertencem ao domínio. Vou fornecer a resposta no formato de conjunto na seção de resposta final.