Exercício 0.7 Resolva as inequações em \mathbb{R} abaixo
\frac{e^{x}+1}{1-x^{2}}<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação em \mathbb{R}
\frac{e^{x}+1}{1-x^{2}}<0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\;e^{x}+1 é o numerador da fração.
\;1-x^{2} é o denominador da fração.
A expressão é definida somente para valores de x em que o denominador não zere, ou seja, x\neq\pm1.
A pergunta é: encontrar todos os x\in\mathbb{R} que tornam a expressão estritamente negativa.

Passo 2

Estratégia para resolver: para uma fração \dfrac{A}{B} ser negativa, A e B devem ter sinais opostos (um positivo e o outro negativo). Vou analisar separadamente o sinal do numerador A=e^{x}+1 e do denominador B=1-x^{2}, identificar os pontos críticos onde algum muda de sinal ou fica indefinido, e montar um raciocínio tipo “teste de sinais” para concluir onde a fração é negativa.

Passo 3

Análise do numerador \;e^{x}+1.
Propriedade importante: para todo x\in\mathbb{R} temos e^{x}>0. Isso vem da definição da função exponencial: e^{x} nunca é zero nem negativa.
Portanto
e^{x}+1>0+1=1,
ou seja, \;e^{x}+1>0 para todo x\in\mathbb{R}. Conclusão: o numerador é sempre positivo (nunca zera e nunca é negativo).

Passo 4

Análise do denominador \;1-x^{2}.
Primeiro encontramos onde o denominador zera:
1-x^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm1.
Então x=\pm1 são pontos onde a expressão não está definida (devem ser excluídos).
Agora determinamos o sinal de 1-x^{2}. Podemos reescrever
1-x^{2} = -(x^{2}-1) = -(x-1)(x+1).
Outra forma direta: a desigualdade 1-x^{2}<0 é equivalente a x^{2}>1, que por sua vez significa |x|>1. Logo:
  • Se |x|<1 (isto é, -1<x<1), então x^{2}<1 e 1-x^{2}>0.
  • Se |x|>1 (isto é, x<-1 ou x>1), então x^{2}>1 e 1-x^{2}<0.
    Resumo: o denominador é positivo em (-1,1), negativo em (-\infty,-1) e em (1,\infty), e nulo em x=\pm1.

Passo 5

Combinação dos sinais (teste de sinais).
Já vimos que o numerador é sempre positivo. Portanto a fração \dfrac{e^{x}+1}{1-x^{2}} terá o mesmo sinal do denominador: se o denominador for positivo, a fração é positiva; se o denominador for negativo, a fração é negativa.
Pelo Passo 4, o denominador é negativo exatamente quando |x|>1, isto é, para x<-1 ou x>1 (com exclusão de x=\pm1, que não pertencem ao domínio). Posso fazer um teste rápido para confirmar:
  • Para x=0 (está em (-1,1)): numerador >0, denominador =1>0 ⇒ fração positiva (não interessa).
  • Para x=2 (está em (1,\infty)): numerador >0, denominador 1-4=-3<0 ⇒ fração negativa (queremos).
  • Para x=-2 (está em (-\infty,-1)): numerador >0, denominador 1-4=-3<0 ⇒ fração negativa (queremos).
Esses testes confirmam que a desigualdade \dfrac{e^{x}+1}{1-x^{2}}<0 ocorre exatamente quando o denominador é negativo, isto é, quando |x|>1, excluindo x=\pm1.

Passo 6

Conclusão final do raciocínio: a solução da inequação é o conjunto dos x reais tais que x<-1 ou x>1, respeitando que x=\pm1 não pertencem ao domínio. Vou fornecer a resposta no formato de conjunto na seção de resposta final.

Resposta

(- \infty,-1)\cup(1,\infty)

Exercícios relacionados