Exercício 4. Resolva as inequações modulares:
|52 x-1| >=|1x-2|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com valores absolutos
|52x-1|>= |1x-2|
O conteúdo é inequação modular aplicada a expressões racionais. Vamos usar a propriedade de que, para quaisquer A e B,
|A|>=|B|Long<=ftrightarrow A^2>= B^2,
e depois analisar o domínio dos denominadores.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo que os denominadores sejam não nulos:
2x-1neq0Rightarrow xneqtfrac12,
x-2neq0Rightarrow xneq2
Logo o domínio é Rsetminustfrac12,2.

Passo 3

Elevamos ao quadrado os dois lados da inequação, válidos pois ambos são não negativos:
(52x-1)^2 >= (1x-2)^2 ;Long<=ftrightarrow; 25(2x-1)^2;-;1(x-2)^2;>=;0

Passo 4

Colocamos em único quociente:
25,(x-2)^2 ;-;(2x-1)^2(2x-1)^2,(x-2)^2;>=;0
No numerador expandimos:
25,(x^2-4x+4);-;(4x^2-4x+1) =21x^2-96x+99
Como o denominador é sempre positivo (exceto nos pontos excluídos), a inequação equivale a
21x^2-96x+99;>=;0

Passo 5

Resolvemos a quadrática 21x^2-96x+99=0. O discriminante é
De<a=(-96)^2-4cdot21cdot99=900,raizDe<a=30,
portanto as raízes são
x=96pm302cdot21 Longrightarrow x=12642=3 ou x=6642=117
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a expressão é não negativa para
x<=117 ou x>=3
Restam excluir x=tfrac12 e x=2 do domínio.

Resposta

xin(-infty,tfrac12);cup;(tfrac12,tfrac117];cup;[3,infty)

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