Exercício 1. Resolva os itens abaixo por 2 métodos: f.g.m. e a partir da distribuição conjunta.
Mostre que se X_{1}, \ldots, X_{k} são v.a.'s independentes tais que X_{i} \sim \operatorname{Bin}\left(n_{i}, p\right), i =1, \ldots, k, então X_{1}+\ldots+X_{k} \sim \operatorname{Bin}\left(n_{1}+\ldots+n_{k}, p\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se X_{1},\dots,X_{k} são v.a.’s independentes com
X_{i}\sim \operatorname{Bin}(n_{i},p),
então
S = X_{1}+\cdots+X_{k}\sim \operatorname{Bin}\bigl(n_{1}+\cdots+n_{k},\,p\bigr).
O conteúdo envolvido é soma de variáveis binomiais independentes. Vamos usar dois métodos: (i) função geradora de momentos (FGM) e (ii) convolução a partir da distribuição conjunta.

Passo 2

Método 1 – FGM.
Para cada i, a FGM de X_{i} é
M_{X_{i}}(t) =E\bigl(e^{tX_{i}}\bigr) =\sum_{x=0}^{n_{i}}\binom{n_{i}}{x}p^{x}(1-p)^{n_{i}-x}e^{tx} =\bigl(pe^{t}+(1-p)\bigr)^{n_{i}}.
Como são independentes, a FGM de S é produto das FGMs:
M_{S}(t) =\prod_{i=1}^{k}M_{X_{i}}(t) =\prod_{i=1}^{k}\bigl(pe^{t}+(1-p)\bigr)^{n_{i}} =\bigl(pe^{t}+(1-p)\bigr)^{\sum_{i=1}^{k}n_{i}}.
Mas essa é exatamente a FGM de \operatorname{Bin}(n_{1}+\cdots+n_{k},p). Logo S tem essa distribuição.

Passo 3

Método 2 – distribuição conjunta e convolução.
Pela independência,
P(S=s) =\sum_{x_{1}+\cdots+x_{k}=s}\prod_{i=1}^{k}P(X_{i}=x_{i}) =\sum_{x_{1}+\cdots+x_{k}=s}\prod_{i=1}^{k}\binom{n_{i}}{x_{i}}p^{x_{i}}(1-p)^{n_{i}-x_{i}}.
Fatorando p^{s}(1-p)^{\sum n_{i}-s}, fica
P(S=s) =p^{s}(1-p)^{\sum n_{i}-s} \sum_{x_{1}+\cdots+x_{k}=s}\prod_{i=1}^{k}\binom{n_{i}}{x_{i}}.
O somatório de produtos de binomiais é o coeficiente da expansão de \prod_{i=1}^k(1+u)^{n_i}=(1+u)^{\sum n_i}, ou seja,
\sum_{x_{1}+\cdots+x_{k}=s}\prod_{i=1}^{k}\binom{n_{i}}{x_{i}} =\binom{\sum_{i=1}^{k}n_{i}}{s}.
Logo
P(S=s) =\binom{\sum_{i=1}^{k}n_{i}}{s}p^{s}(1-p)^{\sum_{i=1}^{k}n_{i}-s},
que é a pmf de \operatorname{Bin}(\sum n_{i},p).

Resposta

Portanto, em ambos os métodos concluímos
X_{1}+\cdots+X_{k}\sim \operatorname{Bin}\bigl(n_{1}+\cdots+n_{k},\,p\bigr).

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