Exercício 1. Resolva os itens abaixo por 2 métodos: f.g.m. e a partir da distribuição conjunta.
Mostre que se
são v.a.'s independentes tais que
,
, então
.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
são v.a.’s independentes com
então
O conteúdo envolvido é soma de variáveis binomiais independentes. Vamos usar dois métodos: (i) função geradora de momentos (FGM) e (ii) convolução a partir da distribuição conjunta.
Passo 2
Método 1 – FGM.
Para cada , a FGM de
é
Para cada
Como são independentes, a FGM de
é produto das FGMs:
Mas essa é exatamente a FGM de
. Logo
tem essa distribuição.
Passo 3
Método 2 – distribuição conjunta e convolução.
Pela independência,
Pela independência,
Fatorando
, fica
O somatório de produtos de binomiais é o coeficiente da expansão de
, ou seja,
Logo
que é a pmf de
.
Resposta
Portanto, em ambos os métodos concluímos