Use o critério de Leibnitz para determinar se as seguintes séries alternadas são convergentes
sumn=1^infty (-1)^n+1 n^2n^3+4

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série alternada sumn=1^infty(-1)^n+1dfracn^2n^3+4. O conteúdo é o critério de Leibnitz para séries alternadas, que exige termos positivos bn, decrescentes e com limntoinftybn=0.

Passo 2

Definimos o termo positivo bn=dfracn^2n^3+4. Note que para todo n>=1 o numerador e o denominador são positivos, logo bn>0.

Passo 3

Calculamos o limite de bn:
limntoinftybn=limntoinftyn^2n^3+4=limntoinfty1n+4/n^2=0

Passo 4

Para mostrar que bn é decrescente para grandes n, consideramos a função f(x)=dfracx^2x^3+4 e analisamos sua derivada:
f'(x)=2x(x^3+4)-x^2cdot3x^2(x^3+4)^2=-x^4+8x(x^3+4)^2
O numerador -x^4+8x é negativo para x>2, logo f'(x)<0 em x>2. Assim, bn é decrescente a partir de n=3, e basta verificar manualmente que b2>b3, o que é verdade.

Passo 5

Como bn>0, bn decrescente (para n>=3) e limntoinftybn=0, pelo critério de Leibnitz a série alternada converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n+1dfracn^2n^3+4 converge pelo critério de Leibnitz.

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