Use o critério de Leibnitz para determinar se as seguintes séries alternadas são convergentes
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série alternada
. O conteúdo é o critério de Leibnitz para séries alternadas, que exige termos positivos
, decrescentes e com
.
Passo 2
Definimos o termo positivo
. Note que para todo
o numerador e o denominador são positivos, logo
.
Passo 3
Calculamos o limite de
:
Passo 4
Para mostrar que
é decrescente para grandes
, consideramos a função
e analisamos sua derivada:
O numerador
é negativo para
, logo
em
. Assim,
é decrescente a partir de
, e basta verificar manualmente que
, o que é verdade.
Passo 5
Como
,
decrescente (para
) e
, pelo critério de Leibnitz a série alternada converge.
Resposta
A série
converge pelo critério de Leibnitz.