exercício: Resolva O PVI
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem, linear e homogênea. Vamos usar separação de variáveis para encontrar a solução geral e depois aplicar a condição inicial.
Passo 2
Reescrevendo a equação diferencial, obtemos
Como essa forma permite separar as variáveis
e
, colocamos todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. De um lado temos a integral de
em relação a
e do outro a integral de
em relação a
:
que resulta em
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para isolar
, exponentiamos ambos os lados:
Como
é uma constante positiva, chamamos
e obtemos
Aqui já incorporamos o sinal em
, dispensando o valor absoluto.
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Logo
e a solução particular do PVI é
Resposta
A solução do PVI é