exercício: Resolva O PVI
\begin{cases}y^{\prime}-3 y=0 & \text { junto com } \\\ y(0)=1 & \text { as listas }\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
\begin{cases} y' - 3y = 0,\\\ y(0) = 1.
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem, linear e homogênea. Vamos usar separação de variáveis para encontrar a solução geral e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Reescrevendo a equação diferencial, obtemos
y' = 3y.
Como essa forma permite separar as variáveis y e x, colocamos todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro:
\frac{dy}{y} = 3\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. De um lado temos a integral de 1/y em relação a y e do outro a integral de 3 em relação a x:
\int \frac{dy}{y} = \int 3\,dx
que resulta em
\ln|y| = 3x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para isolar y, exponentiamos ambos os lados:
|y| = e^{3x + C} = e^C\,e^{3x}.
Como e^C é uma constante positiva, chamamos e^C = K e obtemos
y = K\,e^{3x}.
Aqui já incorporamos o sinal em K, dispensando o valor absoluto.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 na solução geral:
y(0) = K\,e^{3\cdot 0} = K = 1.
Logo K=1 e a solução particular do PVI é
y(x) = e^{3x}.

Resposta

A solução do PVI é
y(x) = e^{3x}.

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