Seja
um campo vetorial em
.
(a) Encontre a função potencial
tal que
.
(a) Encontre a função potencial
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede uma função potencial
tal que
O conteúdo aqui é reconhecer que
é conservativo em
e integrar para achar
.
Passo 2
Para saber se
é conservativo, calculamos as derivadas mistas:
Como são iguais e o domínio
é simplesmente conexo, existe função potencial
.
Passo 3
Integramos a componente
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Diferenciando
em relação a
obtemos
Mas precisamos que
. Logo
com
constante.
Passo 5
Substituindo
em
, temos
Podemos escolher
para simplificar.