Seja F(x, y)=\left(3 x^{2}-2 y^{2}\right) \vec{i}+(-4 x y+3) \vec{j} um campo vetorial em \mathbb{R}^{2}.
(a) Encontre a função potencial f tal que F=\nabla f.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y) = \bigl(3x^{2} - 2y^{2}\bigr)\,\mathbf{i} + \bigl(-4xy + 3\bigr)\,\mathbf{j}
e pede uma função potencial f(x,y) tal que
\nabla f = F.
O conteúdo aqui é reconhecer que F é conservativo em \mathbb{R}^2 e integrar para achar f.

Passo 2

Para saber se F é conservativo, calculamos as derivadas mistas:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}-2y^{2}\bigr) = -4y,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-4xy+3\bigr) = -4y.
Como são iguais e o domínio \mathbb{R}^2 é simplesmente conexo, existe função potencial f.

Passo 3

Integramos a componente P(x,y)=3x^{2}-2y^{2} em relação a x:
\int\bigl(3x^{2}-2y^{2}\bigr)\,dx = x^{3} - 2xy^{2} + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Diferenciando f(x,y)=x^{3}-2xy^{2}+h(y) em relação a y obtemos
f_{y}(x,y) = -4xy + h'(y).
Mas precisamos que f_{y}(x,y)=Q(x,y)=-4xy+3. Logo
h'(y)=3 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=3y + C,
com C constante.

Passo 5

Substituindo h(y) em f, temos
f(x,y) = x^{3} - 2xy^{2} + 3y + C.
Podemos escolher C=0 para simplificar.

Resposta

f(x,y) = x^{3} \;-\; 2x\,y^{2} \;+\; 3y.

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